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共直角頂點(diǎn) 先談兩個等腰直角三角形共直角頂點(diǎn)的情況. 情形一：左手拉左手，右手拉右手（手拉手全等模型） 連接左手A與左手C，連接右手B與右手D，則構(gòu)成了傳統(tǒng)意義上的“手拉手全等模型”，如下圖. 此圖有一些基本結(jié)論需要熟知. （1）形的角度：△AOC≌△BOD. 由∠AOB=∠COD=90°，易得∠AOC=∠BOD，結(jié)合OA=OB，OC=OD，易證△AOC≌△BOD（SAS）.此為基本結(jié)論，需極其熟練！ （2）線的角度：AC=BD且AC⊥BD. 筆者喜歡稱AC、BD為“拉手線”，這對拉手線的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系均可由上述全等三角形間接證明. 設(shè)AC、BD交于E，∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，由下左圖中的“8字形AOBE”導(dǎo)角易證∠AEB=∠AOB=90°，即AC⊥BD. 同理，用下右圖中的“8字形CODE”導(dǎo)角亦可，不再贅述. “手拉手全等模型”若只理解到這個層面，則未免有種“始終在門外徘徊”的感覺，接下來嘗試從圖形變換的角度來重新認(rèn)識此圖. 以靜態(tài)視角看，△AOC與△BOD全等； 以動態(tài)視角看，△BOD可看成由△AOC繞公共頂點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而來，這就是一開始所說的兩組“共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)在起作用啊！正好為兩個三角形的旋轉(zhuǎn)提供了旋轉(zhuǎn)三要素，即旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角. （3）角的角度：OE平分∠BEC，即∠BEO=∠CEO=1/2∠BEC=45°. 過O向∠BEC兩邊作雙垂，只需證明OG=OH，則OE平分∠BEC.而OG、OH分別為全等△AOC和△BOD對應(yīng)邊AC、BD上的高，當(dāng)然相等， 下面，再提供兩圖，可思考上述結(jié)論是否發(fā)生變化. 情形二：左手拉右手，右手拉左手（婆羅摩笈多模型） 連接左手A與右手D，連接右手B與左手C，則又構(gòu)成了所謂“婆羅摩笈多模型”，如下圖. 此模型一般有以下基本結(jié)論. （1）S△AOD=S△BOC. （2）取BC中點(diǎn)M，連接MO并延長交AD于N，則ON⊥AD，且OM=1/2AD.（中線變高） 即△BOC拉手線BC上的中線在位置關(guān)系上與另一△AOD拉手線AD垂直，數(shù)量關(guān)系上等于AD一半. 此題正面進(jìn)攻頗有難度，不妨從結(jié)論出發(fā)，執(zhí)果索因.要證ON⊥AD，即要證∠1、∠3互余，而∠2、∠3已知互余，則只需證∠1=∠2，
根據(jù)結(jié)論OM=1/2AD可知，AD=OK，則△AOD和△OBK中，根據(jù)題目的結(jié)論和條件可知，OA=OB，∠1=∠2，AD=OK，則△AOD≌△OBK.當(dāng)然，這組全等只是我們借助要證明的結(jié)論和條件反向推導(dǎo)出來的一種客觀事實(shí)，不過它可以幫助我們堅(jiān)定解決本題的方向，即證明△AOD≌△OBK（心中已確認(rèn)其全等，才敢堅(jiān)定去證明）. 好了，重新理一下證明全等的思路.
易知∠AOD與∠BOC互補(bǔ)， 當(dāng)然，倍長中線后若連接CK，如下圖，同理可證△AOD≌△KCO ，不再贅述.
（3）過點(diǎn)O作ON⊥AD于N，延長NO交BC于M，則M為BC中點(diǎn)，且OM=1/2AD.（高變中線）
即△AOD拉手線AD上的高所在直線必穿過另一條拉手線BC的中點(diǎn)，且拉手線BC上的中線OM等于另一拉手線AD的一半. 此題正好跟（2）顛倒了一下條件和結(jié)論，這次就不逆推啦，太累！直接上8字干貨，“欲證中點(diǎn)，先造平行”，而上題可總結(jié)為“已知中點(diǎn)，倍長中線”，哈哈！
反思：好一個“欲證中點(diǎn)，先造平行”啊！法一通過先造BK∥OC，便可先得△AOD≌△OBK，再得△KBM≌OCM這組平行8字形全等，順利導(dǎo)出中點(diǎn).跟（2）中一樣，也是通過2次全等，不過全等的證明順序剛好相反，個中趣味，請?jiān)俅误w悟！
反思：法二通過構(gòu)造兩次“K型全等”，巧妙轉(zhuǎn)移線段后再證8字全等，剛好也是2類全等. 更有趣的是，雙垂線BG與CH也平行??！雖是作了雙垂，本質(zhì)依舊是“造平行”，最后通過平行8字形全等導(dǎo)出中點(diǎn)，多么痛的領(lǐng)悟??！ 在情形一的“手拉手全等模型”中，我們能夠根據(jù)“共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換化靜為動，使問題的解決變得徹底！本題同樣具備“共頂點(diǎn)，等線段”結(jié)構(gòu)啊，是否也能通過旋轉(zhuǎn)變換獲得解決呢？不妨一試.
如上圖，狠抓OA=OB這組“共點(diǎn)等線”結(jié)構(gòu)，將△AOD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△BOD'處，顯然，∠DOD'=90°，則易知C、O、D'三點(diǎn)共線，而OD'=OD=OC，則BO是△BD'C的中線，由中線等分面積易知，S△BOD'=S△BOC，則S△AOD=S△BOC.呃，第一個結(jié)論竟然這樣被秒殺了！??！ 當(dāng)然，還有如下3種旋轉(zhuǎn)方式，不再展開說明，請看：
更有趣的是，（2）和（3）中的結(jié)論也可瞬間秒殺！先看（2）中的中線變高的情形.在將△AOD旋轉(zhuǎn)90°至△BOD'處時，順便將ON也相應(yīng)旋轉(zhuǎn)至ON'處，如下圖所示.
同樣地，（3）中高變中線的情形也可順利解決.
反思：通過狠抓“共點(diǎn)等線”結(jié)構(gòu)，進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，使得原本分離的兩個三角形“接壤”，一下子將3個結(jié)論一網(wǎng)打盡，趣味橫生！可見，圖形變換是多么有用?。?/strong> 下面，再提供一個變式圖形.
依舊是等腰Rt△AOB與等腰Rt△COD共直角頂點(diǎn)O，只是兩個等腰直角三角形有重疊部分，依舊“左手A拉右手D，右手B拉左手C”. 不難發(fā)現(xiàn)，前述3個結(jié)論依然成立.本質(zhì)相同，請自行探究，不再贅述.（特別提醒：∠AOD與∠BOC依舊互補(bǔ)） 共45°底角頂點(diǎn) 再談兩個等腰直角三角形共底角頂點(diǎn)的情況. 情形一：順序旋轉(zhuǎn)，手拉手相似 如圖，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角頂點(diǎn)O，且公共頂點(diǎn)O、直角頂點(diǎn)與另一底角頂點(diǎn)均按相同順序排列（如此圖均為順時針方向排列）.
若將兩直角頂點(diǎn)A、C和另兩個底角頂點(diǎn)B、D相連，則構(gòu)成了經(jīng)典的“手拉手相似模型”，如下圖.
此模型包含以下兩個基本結(jié)論： （1）形的角度：旋轉(zhuǎn)相似必成對 △AOB∽△COD（老相似），△AOC∽△BOD（新相似）.
（2）線的角度：AC、BD的數(shù)量關(guān)系為AC：BD=OA：OB=OC：OD=1：根號2；AC、BD的位置關(guān)系為兩線夾的銳角=45°.
聯(lián)系前文“手拉手全等模型”，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上并無不同.從靜態(tài)視角看，△AOC∽△BOD；從動態(tài)視角看，△BOD可看作由△AOC繞公共頂點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)45°后，再以O(shè)為位似中心，同側(cè)放大根號2倍而來，即先旋轉(zhuǎn)變換，后位似變換.
當(dāng)然，BD也是由AC經(jīng)過相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)位似變換而來，故AC與BD的比值等于位似比，夾角等于旋轉(zhuǎn)角45°. 下面，再提供兩個變式圖形，供深入理解.
情形二：逆序腳拉腳 如圖，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底角頂點(diǎn)O，且公共頂點(diǎn)O、直角頂點(diǎn)與另一底角頂點(diǎn)逆序排列（如下圖中O、A、B為逆時針排列，而O、C、D為順時針排列）.
不妨將B、D看作兩個等腰Rt三角形的兩只腳，連接兩腳，即形成了經(jīng)典的“腳拉腳模型”.再取拉腳線上的中點(diǎn)M，分別與兩直角頂點(diǎn)相連，則有結(jié)論AM=CM且AM⊥CM.
下面提供三種證法. 法一：倍長中線法 百思無果，實(shí)在無法建立AM與CM的聯(lián)系，想起“已知中點(diǎn)，倍長中線”，干脆先倍長AM至K（如下左圖），
整理一下證明全等的思路，已知條件僅有CO=CD，由倍長中線可知，△KMD≌△AMB，則KD=AB=AO，這樣就有兩組對應(yīng)邊相等了，只需證明其夾角相等，即證∠AOC=∠KDC即可，此處的導(dǎo)角正是本題難點(diǎn).
倍長中線法本質(zhì)上就是起到轉(zhuǎn)移邊角的作用，倍長中線后形成的8字全等形，也可看成是△ABM繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°得到，旋轉(zhuǎn)前后AB與KD不僅數(shù)量上相等，而且位置上平行，這種平行關(guān)系極其重要（可結(jié)合前文中“婆羅摩笈多模型”的導(dǎo)角再次體悟）， 接下去順推即可，于是△OCA≌△DCK（SAS），∴CA=CK，∠ACO=∠KCD，∴∠ACK=∠ACO+∠OCK=∠KCD+∠OCK=∠OCD=90°，∴△ACK為等腰直角三角形，又AM=MK，∴AM=CM，AM⊥CM.證畢. 反思：題目較為復(fù)雜時，可先逆流而上，執(zhí)果索因，打通關(guān)節(jié)后再順流而下，勢如破竹.另外，導(dǎo)角時要善于從位置關(guān)系入手，解無定法，多反思，多總結(jié)，方能融會貫通，靈活運(yùn)用！ 法二：構(gòu)造共直角頂點(diǎn)手拉手 一般而言，共直角頂點(diǎn)的雙等直三角形手拉手模型更易掌握，此題難就難在共的是底角頂點(diǎn)而非直角頂點(diǎn)，故考慮將其構(gòu)造成熟悉的共直角頂點(diǎn)模型，見下左圖：
反思：此法巧思妙構(gòu)，將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的模型，再通過中位線溝通短邊AM、CM與長邊DE、BF之間的數(shù)量與位置關(guān)系，妙哉妙哉，是筆者最為推崇的一種解法. 法三：中位線法
反思：此法也是常見的中點(diǎn)處理策略，有中點(diǎn)，取中點(diǎn)，造中位線，困難之處依舊在于導(dǎo)角. 拓展延伸： 本文的初衷就是介紹共頂點(diǎn)的雙等直相關(guān)模型，本想就此結(jié)束，但考慮到腳拉腳模型平時極少有機(jī)會深入講解，不妨再拓展一下，供有興趣的同學(xué)繼續(xù)鉆研. 若將雙等腰直角三角形弱化為兩個逆序等腰三角形共底角頂點(diǎn)，且頂角互補(bǔ)，再連接另一組底角頂點(diǎn)并取中點(diǎn)，則該中點(diǎn)與兩頂角頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形. 如上圖，△ABO中，AB=AO，△COD中，CO=CD，且∠OAB+∠OCD=180°，取BD中點(diǎn)，則有AM⊥CM.
法一：倍長中線法
法二：構(gòu)造共直角頂點(diǎn)的相似三角形手拉手
反思：若是對“共直角頂點(diǎn)的雙相似三角形手拉手模型”的基本結(jié)論十分熟悉，則圖中的新相似△EOD∽△BOF是可以快速識別的，且從動態(tài)視角看，△BOF可看作由△EOD繞共點(diǎn)O先旋轉(zhuǎn)90°后位似變換而來，故BF亦是由ED旋轉(zhuǎn)90°而來，故ED⊥BF就是顯然的事情！認(rèn)識模型→熟悉模型→識別模型→應(yīng)用模型，這是一個循序漸進(jìn)的過程，偷不得懶喲！ 法三：中位線法（類似上題法三，不再詳述）
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