對(duì)外部世界進(jìn)行研究的主要目的在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語言透露給我們的?！_普勒（Johannes Kepler）

二、文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

雖然文藝復(fù)興時(shí)期人們只是模糊地理解了希臘人工作的遠(yuǎn)景、價(jià)值和目標(biāo)，但是他們確曾在數(shù)學(xué)上邁出了有創(chuàng)造性的幾步，并且他們?cè)诹硪恍╊I(lǐng)域里取得了進(jìn)展，為我們這個(gè)學(xué)科在17世紀(jì)所達(dá)到的驚人的高潮鋪平了道路。

1.透視法

藝術(shù)家們最先表示出對(duì)自然界恢復(fù)了興趣，最先認(rèn)真地運(yùn)用希臘的學(xué)說：“數(shù)學(xué)是自然界真實(shí)的本質(zhì)?！币苍S他們對(duì)希臘的思想和智慧是感覺了，但很難說是理解了。在某種程度上這反而是有利的，因?yàn)樗麄兾词苷?guī)學(xué)校教育，就可以不受那些教條的約束。另外，他們享有表達(dá)思想的自由，因?yàn)樗麄兊墓ぷ鞅徽J(rèn)為是“無害的”。

文藝復(fù)興時(shí)期的藝術(shù)家們受雇于王公貴族去執(zhí)行各種任務(wù)，從創(chuàng)作圖畫到設(shè)計(jì)防御工事、運(yùn)河、橋梁、軍事器械、宮殿、公共建筑和教堂。所以他們必須學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理、建筑學(xué)、工程學(xué)、石工、金工、解剖學(xué)、木工、光學(xué)、靜力學(xué)和水力學(xué)。他們進(jìn)行了手工操作，但也解決了最抽象的問題。在15世紀(jì)他們是最好的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。

要評(píng)價(jià)他們對(duì)幾何學(xué)的貢獻(xiàn)，就必須注意到他們?cè)诶L畫方面的新目標(biāo)。在中世紀(jì)頌揚(yáng)上帝和為圣經(jīng)插圖是繪畫的目的。對(duì)圖形的要求是象征性超過現(xiàn)實(shí)性。到文藝復(fù)興時(shí)期，描繪現(xiàn)實(shí)世界成為繪畫的目標(biāo)。于是面臨一個(gè)數(shù)學(xué)問題，就是把三維的現(xiàn)實(shí)世界繪制到二維的畫布上。

布魯內(nèi)列斯基（Filippo Brunelleschi，1377—1446）是第一個(gè)認(rèn)真地研究并使用數(shù)學(xué)的藝術(shù)家，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣引導(dǎo)他去研究透視法，他從事繪畫正是為了運(yùn)用幾何。他讀了歐幾里得、希帕恰斯和維泰洛在數(shù)學(xué)和光學(xué)方面的作品，并且向佛羅倫薩的數(shù)學(xué)家托斯卡內(nèi)利（Paolo del Pozzo Toscanelli，1397—1482）學(xué)習(xí)。畫家烏切洛（Paolo Uccello，1397—1475）和馬薩丘（Masaccio，1401—1428）也探索了實(shí)際透視法的數(shù)學(xué)原理。

數(shù)學(xué)透視法方面的天才是阿爾貝蒂（Leone Battista Alberti，1404—1472）。他的《論繪畫》（Della pittura，1435）一書1511年出版，其中都是數(shù)學(xué)，也包含了一些光學(xué)方面的工作。他的另一本重要的數(shù)學(xué)著作是《數(shù)學(xué)游戲》（Ludi mathematici，1450），這本書里有機(jī)械、測(cè)量、計(jì)時(shí)和炮術(shù)方面的應(yīng)用。阿爾貝蒂所設(shè)想的原理成了他藝術(shù)上的繼承人所采用并加以完善的透視法數(shù)學(xué)體系的基礎(chǔ)。

在眼睛和景物之間插進(jìn)一張直立的玻璃屏板，設(shè)想光線從眼睛或觀測(cè)點(diǎn)出發(fā)射到景物本身的每一個(gè)點(diǎn)上。他把這些光線叫做光束棱錐或投影線。設(shè)想在這些線穿過玻璃屏板（畫面）之處都標(biāo)出一些點(diǎn)子，他把這點(diǎn)集叫做截景。截景給眼睛的印象和景物本身一樣，因?yàn)閺膬烧甙l(fā)出的光線一樣。所以作畫逼真的問題就是在畫布上作出一個(gè)真正的截景。當(dāng)然這個(gè)截景依賴于眼睛的位置和屏板的位置。這意思就是對(duì)同一景物可以繪出不同的畫。

艾伯蒂在《論繪畫》中提供了一些正確的法則，但是沒有給出全部細(xì)節(jié)。他提出了一個(gè)很重要的問題：如果在眼睛和景物之間插進(jìn)兩塊玻璃屏板，則在它們上面的截景將是不同的。進(jìn)一步，如果眼睛從兩個(gè)不同的位置看同一景物，而在每一種情形下都插一塊玻璃屏板在中間，那么截景也將是不同的。可是所有這些截景都傳達(dá)原來的形象，所以它們必定有某種共性。那么任意兩個(gè)截景之間有什么數(shù)學(xué)關(guān)系，或它們有什么共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)？這問題是射影幾何發(fā)展的出發(fā)點(diǎn)。

達(dá)芬奇認(rèn)為一幅畫必須是實(shí)體的精確再現(xiàn)，透視法就是“繪畫的舵輪和準(zhǔn)繩”，涉及應(yīng)用光學(xué)和幾何學(xué)。對(duì)他來說，繪畫是一種科學(xué)，因?yàn)樗沂玖俗匀唤绲恼鎸?shí)性；由此，繪畫比詩歌、音樂和建筑更為優(yōu)越。達(dá)芬奇關(guān)于透視法的著作包含在《繪畫專論》（Trattato della pittura，1651）中，這書由某個(gè)不知名的作者編輯，采用了達(dá)芬奇有關(guān)筆記中最有價(jià)值的材料。

把透視法的數(shù)學(xué)原理以相當(dāng)完整的形式陳述出來的畫家是弗蘭西斯卡（Piero della Francesca，約1410—1492），他還認(rèn)為透視法是繪畫的科學(xué)并且企圖通過數(shù)學(xué)來修改和推廣根據(jù)經(jīng)驗(yàn)得到的知識(shí)。他的主要著作《透視畫法論》（De prospettiva pingendi，1482—1487）推進(jìn)了阿爾貝蒂的投影線和截景的思想。就像阿爾貝蒂一樣，他給出了直觀易懂的定義來幫助藝術(shù)家們。然后他提出定理，并且通過作圖或做一個(gè)比例的計(jì)算來“論證”這些定理。他是杰出的畫家兼數(shù)學(xué)家，也是科學(xué)的藝術(shù)家，還是那個(gè)時(shí)代最好的幾何學(xué)家。

文藝復(fù)興時(shí)期全體藝術(shù)家中最好的數(shù)學(xué)家要算是德國人丟勒（Albrecht Dürer，1471—1528）。他的《圓規(guī)直尺測(cè)量法》（Underweysung der Messug mid dem Zyrkel und Rychtscheyd，1525）主要是幾何方面的書。他的書談?wù)搶?shí)際比理論多，很有影響。

從16世紀(jì)起透視法的理論就在繪畫學(xué)校里按照大師們寫下的原理講授。不過，他們?cè)谕敢暦ǚ矫娴恼撐目偟膩碚f只是些格言、法則和硬性規(guī)定的方法，缺乏一個(gè)堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1500年到1600年這段時(shí)期的藝術(shù)家和后來的數(shù)學(xué)家把這門學(xué)科放在一個(gè)令人滿意的演繹基礎(chǔ)上，使它從半經(jīng)驗(yàn)的藝術(shù)成為真正的科學(xué)。透視法方面的權(quán)威性著作是很久之后才由18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家泰勒（Brook Taylor）和蘭伯特（Johann Heinrich Lambert）寫出來的。

2、幾何本身

15、16世紀(jì)除透視法外，幾何學(xué)的發(fā)展沒有給人深刻的印象。丟勒、達(dá)芬奇和帕喬利（Luca Pacioli，約1445—1514）（他是一個(gè)意大利的修士，弗蘭西斯卡的學(xué)生，達(dá)芬奇的朋友和教師）討論的一個(gè)幾何題目是作圓的內(nèi)接正多邊形。這些人試圖按阿拉伯人阿布爾韋法曾考慮過的限制用直尺和開口固定的圓規(guī)來完成作圖，但他們只給出了近似的方法。

貝內(nèi)代蒂擴(kuò)大了問題，尋找用直尺和開口固定的圓規(guī)來解歐幾里得的所有作圖問題。一般的問題是由丹麥人莫爾（George Mohr，1640—1697）在《奇妙的歐氏綱要》（Compendium Euclidis Curiosi，1673）一書中解決的。莫爾在他的丹麥文《歐幾里得》（Euclides Danicus，1672）一書中還指出，凡能用直尺和圓規(guī)作的圖也可以只用一個(gè)圓規(guī)來完成。馬斯凱羅尼（Lorenzo Mascheroni，1750—1800）重新發(fā)現(xiàn)只用一個(gè)圓規(guī)就足以完成歐幾里得作圖這一事實(shí)，并且發(fā)表在他的《圓周幾何》（La geometria del compass，1797）一書中。

喬治·莫爾

求物體的重心是另一個(gè)感興趣的問題。達(dá)芬奇對(duì)等腰梯形的重心給出了一個(gè)正確的方法和一個(gè)不正確的方法。然后他不加證明地給出了四面體重心的位置，在底面三角形的重心到頂點(diǎn)的連線上四分之一的地方。

兩個(gè)新穎的幾何思想出現(xiàn)在丟勒的一些次要的著作里。第一個(gè)是空間曲線。空間螺旋線在平面上的投影是各種各樣的平面螺旋線，丟勒指出如何去畫它們。他還介紹了外擺線，這是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓外滾動(dòng)時(shí)動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。第二個(gè)思想是考慮曲線和人影在兩個(gè)或三個(gè)相互垂直的平面上的正交投影。這個(gè)想法丟勒只是接觸了一下，后來到18世紀(jì)時(shí)由蒙日（Gapard Monge）發(fā)展為畫法幾何。

達(dá)芬奇、弗蘭西斯卡、帕喬利和丟勒在純粹幾何學(xué)方面的工作，從其有無新結(jié)果的觀點(diǎn)來看是不重要的，主要價(jià)值是廣泛地傳播了某些幾何知識(shí)。丟勒的《圓規(guī)直尺測(cè)量法》的第四部分與弗蘭西斯卡的《論規(guī)則形體》（De Corporibus Regularibus，1487）和帕喬利的《神妙的比例》（De Divina Proportione，1509）一起，重新引起人們對(duì)立體幾何的興趣。立體幾何學(xué)在開普勒時(shí)代繁榮起來。

另一個(gè)幾何的活動(dòng)是制作地圖。地形勘察揭露出現(xiàn)有地圖的不妥當(dāng)，同時(shí)揭開了新的地理知識(shí)。地圖的制作和印刷開始于15世紀(jì)后半葉，以安特衛(wèi)普和阿姆斯特丹為中心。

制作地圖的問題是從下述事實(shí)提出來的：一個(gè)球不能裂開展平而不畸變。還有，方向（角）或面積或兩者都會(huì)發(fā)生畸變。制作地圖的最有意義的新方法是克雷默（Gerhard Kremer）提出的，他也叫墨卡托（Mercator，1512—1594），他把終身貢獻(xiàn)給這門科學(xué)。1569年他作出一幅地圖，用了著名的墨卡托投影。緯線和經(jīng)線是直線。經(jīng)線是等距離的，但緯線的間隔是遞增的。當(dāng)緯度L遞增時(shí)，他令緯線間的距離按倍數(shù)1 /cos L遞增。

墨卡托（現(xiàn)代地圖之父）

只在這種投影下地圖上相互兩點(diǎn)的羅盤方位才是正確的。于是球面上羅盤方位是常數(shù)的線（即所謂斜駛線，它與子午線有相同的交角）成為地圖上的一條直線。距離和面積不保持；但是，因?yàn)榉较蚴潜３值模栽谝稽c(diǎn)處的兩個(gè)方向之間的夾角是保持的，從而這個(gè)地圖被稱為是保形的。

墨卡托地圖

雖然16世紀(jì)制作地圖的工作中沒有出現(xiàn)很多新的數(shù)學(xué)思想，但是后來這個(gè)問題被數(shù)學(xué)家們接了過去，并引導(dǎo)出微分幾何中的工作。

3、代數(shù)

直到卡爾達(dá)諾的《大衍術(shù)》（Ars Magna，1545，后文又譯為《重要的藝術(shù)》）出版，文藝復(fù)興時(shí)期代數(shù)一直沒有什么發(fā)展。但是，帕喬利的工作是值得注意的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)是最廣的有系統(tǒng)的學(xué)問，并且應(yīng)用于所有人的實(shí)際生活和精神生活中。他告訴數(shù)學(xué)家和技術(shù)人員，理論必須是主導(dǎo)。他的主要出版物是《總論算術(shù)、幾何、比例和比例性》（Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalita，1494），一本當(dāng)代數(shù)學(xué)的概要，并且是這個(gè)時(shí)代的代表，因?yàn)樗褦?shù)學(xué)和很多實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來。

這本書的內(nèi)容包含了印度—阿拉伯的數(shù)學(xué)符號(hào)、商業(yè)算術(shù)，包括簿記和當(dāng)時(shí)的代數(shù)，歐幾里得《原本》的一個(gè)蹩腳的概括，還有一些從托勒玫那里抄來的三角學(xué)。應(yīng)用比例概念去揭示自然界的各個(gè)方面和宇宙本身是一個(gè)大的課題。他把比例叫做“皇后”，并且把它應(yīng)用于人體各部分的尺寸，應(yīng)用于透視甚至是混合顏料。他所寫的方程中，系數(shù)總是常數(shù)，并把各項(xiàng)放在使系數(shù)為正的一邊。雖然偶爾要減去一項(xiàng)，但純負(fù)數(shù)是不用的，方程也只給正根。他用代數(shù)去計(jì)算幾何量。他認(rèn)為解方程x3 +mx = n和x3 +n = mx就像化圓為方的作圖題一樣是不可能的，用這條意見結(jié)束了他的書。

帕喬利

雖然在《總論》里沒有什么是獨(dú)創(chuàng)的，但這書和他的《神妙的比例》都是有價(jià)值的，因?yàn)榘膬?nèi)容比在大學(xué)里教的多很多。帕喬利是已有學(xué)術(shù)著作同藝術(shù)家與技術(shù)人員所獲得知識(shí)之間的媒介?！犊傉摗穼?duì)1200年到1500年之間算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展只是一個(gè)很有意義的數(shù)學(xué)注解，因?yàn)樗霭嬖?494年，但并不比斐波那契1202年的《算經(jīng)》內(nèi)容更多。事實(shí)上，《總論》中的算術(shù)和代數(shù)是根據(jù)斐波那契的書而寫的。

4、三角

1450年以前三角主要是球面三角；測(cè)量學(xué)還繼續(xù)用羅馬的幾何方法。雖然斐波那契在他的《幾何實(shí)習(xí)》（Practica Geometriae，1220）里就曾經(jīng)倡導(dǎo)平面三角的方法，差不多到1450年左右平面三角學(xué)在測(cè)量中才變得重要起來。

15世紀(jì)末葉和16世紀(jì)早期由德國人完成了三角學(xué)中的新方法，通常他們?cè)谝獯罄魧W(xué)然后回到祖國。當(dāng)?shù)聡_始興旺時(shí)，北德漢薩同盟（Hanseatic League of North Germany）控制著很多貿(mào)易，得到很多財(cái)富，于是商人中的贊助者就可以支持我們將要提到的很多人的工作。三角學(xué)的工作受到航行、推算日歷和天文學(xué)的推動(dòng)，對(duì)天文學(xué)的興趣由于日心說的創(chuàng)造而增強(qiáng)。

維也納的波伊爾巴赫（George Peurbach，1423—1461）開始去校訂《至大論》的拉丁文譯本，這本書是由阿拉伯版本轉(zhuǎn)譯的，他打算由希臘原文翻譯。他還開始制作更精確的三角函數(shù)表。但波伊爾巴赫死時(shí)太年輕，他的工作由他的學(xué)生米勒（Johannes Müller，1436—1476）[又叫雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）]繼續(xù)下去。雷格蒙塔努斯翻譯了阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線》、阿基米德和赫倫的部分作品，自己成立印刷廠出版這些書。

雷格蒙塔努斯的紀(jì)念郵票

他仿造波伊爾巴赫采用印度人的正弦，然后造了一個(gè)取圓半徑為600,000單位和另一個(gè)取半徑為10,000,000單位的正弦表。他還計(jì)算了正切表。在《方位表》（Tubulae Directionum，寫于1464—1467）一書中他給出了五位正切表并取十等分角度，這在那個(gè)時(shí)代是一個(gè)很不平常的做法。

15、16世紀(jì)有很多人在做表，其中有雷蒂庫斯（George Joachim Rhaeticus，1514—1576）、哥白尼、韋達(dá)（1540—1603）和皮蒂斯科斯（Bartholom?us Pitiscus，1561—1613）。這一工作的特點(diǎn)是讓圓半徑的值很大很大以便能夠得到更精確的三角函數(shù)值而不用分?jǐn)?shù)或小數(shù)。例如，雷蒂庫斯計(jì)算一個(gè)正弦表，半徑取得是10的10次方和10的15次方。皮蒂斯科斯在《寶庫》（Thesaurus，1613）中修正并發(fā)表了雷蒂庫斯的第二個(gè)三角函數(shù)表?！皌rigonometry”一詞就是他提出的。

更基本的工作是解平面和球面三角形。雷格蒙塔努斯從納西爾丁的工作中得到益處，并且在1462年寫的《論三角》（De Triangulis）中用更為有效的方式把平面三角、球面幾何和球面三角中有用的知識(shí)放在一起。他給出球面三角的正弦定律，就是

sin a/sin A=sin b/sin B=sin c /sin C，

和涉及邊的余弦定律，即

cos a=cos bcos c+sin bsin c cos A。

《論三角》直到1533年才出版。與此同時(shí)沃納（Johann Werner，1468—1528）在《論球面三角》（De Triangulis Sphaericis，1514）一書中改進(jìn)并發(fā)表了雷格蒙塔努斯的思想。

經(jīng)過雷格蒙塔努斯多年的工作，球面三角仍然因?yàn)樾枰笈蕉幱诶щy中，這部分是因?yàn)樗凇墩撊恰分校ㄉ踔粮绨啄嵩谝粋€(gè)世紀(jì)之后）只用到正弦和余弦函數(shù)，還因?yàn)殁g角的余弦和正切函數(shù)的負(fù)值沒有被承認(rèn)為數(shù)。

雷蒂庫斯是哥白尼的學(xué)生，他改變了正弦的意義。原來說一段弧的正弦，他改成說一個(gè)角的正弦。雷蒂庫斯采用了全部六個(gè)函數(shù)。

韋達(dá)（近代代數(shù)之父）

韋達(dá)的職業(yè)是律師，但他更被認(rèn)為是16世紀(jì)第一流的數(shù)學(xué)家。他的《標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)》（Canon Mathematicus，1579）一書是他在三角的許多工作中的第一本、在這里他把解直角和斜角平面三角形的公式收集到一起，也包括他自己的貢獻(xiàn)正切定律：

(a - b) / (a + b) = tan [(A - B) /2] / tan [(A + B) /2]。

對(duì)球面直角三角形，他給出了用已知的兩部分計(jì)算另一部分所需的一套完全的公式，并給出了用來記住這套公式的法則，我們現(xiàn)在把它叫做納皮爾法則。他還提出了涉及鈍角球面三角形角的余弦定律：

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos a。

很多三角恒等式是托勒密建立的，韋達(dá)給以補(bǔ)充。例如，他給出了恒等式：

sin A - sin B = 2 cos [(A + B) /2] cos [(A - B) /2]。

還有用sin θ和cos θ表示sin nθ和cos nθ的恒等式。后一個(gè)恒等式寫在他的《斜截面》（Sections Angulares）一書中，這本書于他死后在1615年出版。

他用sin nθ的公式去解比利時(shí)數(shù)學(xué)家羅馬努斯（Adrianus Romanus，1561—1615）在《數(shù)學(xué)思想》（Ideae Mathematicae，1593）中作為對(duì)法國人的挑戰(zhàn)而提出的一個(gè)問題。這個(gè)問題是求解一個(gè)45次方程。法國的亨利（Henry）四世找來了韋達(dá)，他認(rèn)為這個(gè)問題等價(jià)于用sin A表示sin 45A，并求出sin A。韋達(dá)知道這個(gè)問題可解，只要把這個(gè)方程分成一個(gè)5次的方程和兩個(gè)3次的方程，而這些方程他很快地解出。他給出了23個(gè)正根，但忽略了負(fù)根。在他的《回答》（Responsum，1595）一書中他解釋了他的解法。

16世紀(jì)三角學(xué)開始從天文學(xué)里分出來成為一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它的應(yīng)用說明有必要用更獨(dú)立的觀點(diǎn)來研究三角學(xué)。

5、文藝復(fù)興時(shí)期主要的科學(xué)進(jìn)展

在文藝復(fù)興時(shí)期，對(duì)推動(dòng)以后兩個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)具有決定意義的進(jìn)展是哥白尼和開普勒領(lǐng)導(dǎo)的天文學(xué)革命。大約在1200年以后，亞里士多德的天文理論（歐多克索斯的一個(gè)修補(bǔ)）和托勒密的理論變得廣泛流行并且互相對(duì)立。亞里士多德的理論為大多數(shù)人接受，雖然托勒玫的理論對(duì)天文預(yù)測(cè)、航行和計(jì)算日歷更為有用。

一些阿拉伯人。中世紀(jì)后葉的人，文藝復(fù)興時(shí)代的人物，包括阿爾比魯尼（973—1048）、奧雷姆和庫薩（Cusa）的尼古拉（Nicholas，1401—1464）大主教，也許是響應(yīng)希臘人的思想，當(dāng)真考慮過地球或許在轉(zhuǎn)動(dòng)，并且考慮過在地球繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)的基礎(chǔ)上，同樣可能建立一種天文學(xué)理論，但是沒有一個(gè)人提出新的理論。

在天文學(xué)家之中哥白尼作為一個(gè)巨人突然出現(xiàn)。哥白尼1473年生于波蘭的托倫（Thorn），在克拉科夫（Cracow）大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)。23歲時(shí)他到博洛尼亞進(jìn)一步深造。1512年他回到波蘭成為弗勞恩堡（Frauenberg）大教堂的典事，在那里一直住到1543年逝世。他在完成工作職務(wù)的同時(shí)，專心致志于研究和觀測(cè)，終于創(chuàng)立了革新的天文學(xué)理論。思維領(lǐng)域的這一成就，就其重要性、勇敢和宏偉的程度來說，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了征服海洋的壯舉。

華沙國家科學(xué)院門口的哥白尼雕像

很難斷定什么原因使哥白尼拋棄了有1400年之久的托勒密理論。在《天體運(yùn)行論》（De Revolutionibus Orbium Coelestium，1543）的序言中所述的是不完全的，并且有幾分不可思議。哥白尼聲明喚醒他的是關(guān)于托勒密體系的精確度的各種不同觀點(diǎn)，認(rèn)為托勒密的理論只是一個(gè)假說的觀點(diǎn)，以及亞里士多德和托勒密理論的追隨者之間的爭(zhēng)執(zhí)。

哥白尼保留了托勒密天文學(xué)的一些原理。他用圓作基本曲線，在此基礎(chǔ)上構(gòu)造對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的解釋。他也采納了在均輪上作周轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的方案，但反對(duì)托勒密在假想圓上的勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫@個(gè)運(yùn)動(dòng)不要求均勻直線速度。

由于用了阿利斯塔克把太陽放在每個(gè)均輪中心的思想，哥白尼能夠用比較簡(jiǎn)單的圖來代替以前描繪每一個(gè)天體運(yùn)動(dòng)所需要的復(fù)雜的圖。他用34個(gè)圓代替77個(gè)圓去解釋月球和六個(gè)已知行星的運(yùn)動(dòng)。后來他改善了這個(gè)方案，讓太陽只是靠近這個(gè)體系的中心而不是正在這中心。

巴西發(fā)行的哥白尼紀(jì)念郵票

從與觀測(cè)結(jié)果相符合這點(diǎn)來說，哥白尼的理論并不比托勒密的修正理論更好。哥白尼體系的優(yōu)點(diǎn)乃是它用地球圍繞太陽運(yùn)動(dòng)來解釋行星運(yùn)動(dòng)的主要不規(guī)則性，而不是用許多周轉(zhuǎn)圓。此外，他的方案用同樣通用的方法對(duì)待所有的行星，而托勒密對(duì)內(nèi)部行星水星、金星和外部行星火星、土星、金星采用稍有不同的方法。最后，在哥白尼的方案中天體位置的計(jì)算是比較簡(jiǎn)單的，以至于在1542年天文學(xué)家們開始用他的理論來計(jì)算天體位置的新的表。

哥白尼的理論遇到了合理的和懷偏見的兩種反對(duì)意見。同觀測(cè)的不符合使得第谷·布拉赫（1546—1601）放棄了這個(gè)理論而去尋找一個(gè)折衷的方案。韋達(dá)由于同樣的原因完全拒絕了它，轉(zhuǎn)而去改進(jìn)托勒密的理論。很多知識(shí)分子拒絕這個(gè)理論或是因?yàn)椴涣私猓蚴且驗(yàn)椴荒芙邮苄滤枷?。他書中所含的?shù)學(xué)確實(shí)難懂，就像哥白尼在序言里所說的，他的書是寫給數(shù)學(xué)家看的。第谷·布拉赫和德國天文學(xué)家在1572年對(duì)于新星的觀測(cè)是有幫助的，星球的突然出現(xiàn)和不見反駁了亞里士多德和經(jīng)院派學(xué)者關(guān)于天體永恒不變的教條。

第谷布拉赫

如果沒有開普勒（1571—1630）的工作，日心說的命運(yùn)將是不確定的。他出生于符騰堡（Württemberg）公國的一個(gè)城市魏爾（Weil）。他曾在第谷·布拉赫的觀象臺(tái)里做他的助手，并在第谷死后被任命接替其位置。開普勒的一部分工作是為他的雇主魯?shù)婪颍≧udolph II）大帝算命。開普勒用占星術(shù)有助于天文學(xué)家謀生的想法來聊以自慰。

開普勒的一生受盡磨難，但他用恒心、非凡的努力和豐富的想象力從事科學(xué)工作。在探討科學(xué)問題的態(tài)度方面，開普勒是一個(gè)過渡人物。他接受了柏拉圖的教義——宇宙是按照一個(gè)事先建立好的數(shù)學(xué)方案安排的。但他極其尊重事實(shí)，工作完全建立在事實(shí)的基礎(chǔ)上，從事實(shí)發(fā)展到定律。在尋找定律時(shí)，他發(fā)揮了對(duì)假說的創(chuàng)造性，對(duì)真理的熱愛和活躍的想象力但不妨礙理智。他設(shè)計(jì)了很多的假說，但當(dāng)它們與事實(shí)不符時(shí)，他毫不猶豫地拋棄。

開普勒

被哥白尼體系的美好與和諧所觸動(dòng)，他決定從事于去尋求第谷·布拉赫所提供的更為精確的觀測(cè)可能允許怎樣的幾何上的和諧關(guān)系。他尋找數(shù)學(xué)上的關(guān)系，確信這種關(guān)系是存在的，這使得他在錯(cuò)誤的道路上探索了許多年。在《神秘的宇宙結(jié)構(gòu)學(xué)》（Mysterium Cosmographicum，1596）一書的序言中，他說道：“我企圖去證明上帝在創(chuàng)造宇宙并且調(diào)節(jié)宇宙的次序時(shí)，看到了從畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖時(shí)代起就為人們熟知的五種正多面體，他按照這些形體安排了天體的數(shù)目，它們的比例和它們運(yùn)動(dòng)間的關(guān)系。”

于是他假定六個(gè)行星的軌道半徑是一些和五種正多面體相聯(lián)系的球的半徑。最大的半徑是土星的軌道半徑，在這一半徑的球里他假設(shè)有一個(gè)內(nèi)接正立方體。在這個(gè)立方體里有一個(gè)內(nèi)接球，這球的半徑就是木星的軌道半徑。在這個(gè)球里有一個(gè)內(nèi)接正四面體，對(duì)它又有一個(gè)內(nèi)接球，它的半徑是火星軌道半徑。如此繼續(xù)下去，經(jīng)過五種正多面體，可以作出六個(gè)球，正好和當(dāng)時(shí)知道的行星數(shù)目一樣。由這個(gè)假設(shè)作出的推論和觀測(cè)不一致，他拋棄了這個(gè)想法，但在這以前他異常努力地以改進(jìn)了的形式去運(yùn)用它。

開普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律的前兩條公布在1609年出版的一本書里，這本書有個(gè)很長(zhǎng)的名字，有時(shí)簡(jiǎn)稱它為《新天文學(xué)》（Astronomia Nova），有時(shí)叫《論火星的運(yùn)動(dòng)》（Commentarieson the Motions of Mars）。

第一定律說每個(gè)行星的軌道不是一些動(dòng)圓聯(lián)合的結(jié)果，而是一個(gè)橢圓，太陽在它的一個(gè)焦點(diǎn)上。第二定律說太陽與行星的連線在相等的時(shí)間里掃過相等的面積。希臘人相信行星運(yùn)動(dòng)必須用均勻線速率來解釋。開普勒和哥白尼一樣，一開始也堅(jiān)定地相信勻速率的學(xué)說，但是他的觀測(cè)迫使他又放棄了這個(gè)珍愛的信念。當(dāng)他能夠用具有同樣魅力的某些東西代替這信念時(shí)，他是非常高興的，因?yàn)樗年P(guān)于自然界遵循數(shù)學(xué)規(guī)律的信念又得到了肯定。

開普勒作出了更為異常的努力來得到第三個(gè)定律。取地球公轉(zhuǎn)的周期和它到太陽的平均距離（應(yīng)為半主軸）作為時(shí)間和距離的單位，那么一個(gè)行星公轉(zhuǎn)的周期的平方等于它到太陽的平均距離的立方。開普勒在《世界的和諧》（The Harmony of the World，1619）一書中公布了這個(gè)結(jié)果。

開普勒三大定律

開普勒的工作比哥白尼的工作要革命得多，他采用橢圓和非勻速運(yùn)動(dòng)從根本上打破了權(quán)威和傳統(tǒng)。他堅(jiān)持這樣的立場(chǎng)：科學(xué)研究是獨(dú)立于一切哲學(xué)和神學(xué)信條的；單單數(shù)學(xué)上的考慮就可以決定假說的正確性；假說以及從它作出的推理都必須通過實(shí)踐來檢驗(yàn)。

對(duì)日心說有些很有分量的科學(xué)上的反對(duì)意見，其中許多是托勒密針對(duì)阿利斯塔克提出來的。怎樣能使地球這樣一個(gè)重的天體開始運(yùn)動(dòng)并且保持運(yùn)動(dòng)？（希臘人和中世紀(jì)的思想家認(rèn)為行星是由某種特別輕的物質(zhì)組成的。）為什么扔到空氣中的物體不落到它原來位置的西邊？為什么地球在旋轉(zhuǎn)時(shí)不飛散？哥白尼對(duì)后一個(gè)問題的極為軟弱的回答是球是一個(gè)自然的形狀，因此就自然地運(yùn)動(dòng)著，所以地球不會(huì)破壞它自己。為什么地球上的物體和空氣本身和地球在一起？哥白尼回答說，空氣具有“地球性”，所以跟著地球轉(zhuǎn)。

為什么恒星的方向不變？視差若是2'，則距離至少需要400萬倍于地球半徑，這樣一個(gè)距離在當(dāng)時(shí)是不可想象的。哥白尼聲明“天空與地球相比是無限的，好像是無窮大的……宇宙的邊界是不知道的也是不可知的”。直至1838年數(shù)學(xué)家貝塞爾（Friedrich Wilhelm Bessel）才測(cè)量了最近一個(gè)恒星的視差，發(fā)現(xiàn)它是0.31?。

德國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家貝塞爾

如果哥白尼和開普勒是“清醒的”人，他們就永遠(yuǎn)不會(huì)去否定他們的感覺。盡管地球在高速率地轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們不能感覺到它的自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)。另一方面，我們確實(shí)看到太陽在運(yùn)動(dòng)。

哥白尼和開普勒都否認(rèn)基督教的一條中心教義，就是上帝主要關(guān)心的是人，而人是宇宙的中心，宇宙萬物都圍繞著人轉(zhuǎn)。相反，日心說把太陽放在宇宙的中心，這就威脅了這個(gè)慰藉人心的教義，因?yàn)樗沟萌顺蔀榭赡苡械囊淮笕浩从诤涮炜盏牧骼苏咧弧＿@樣，通過太陽代替地球，哥白尼和開普勒就搬走了天主教神學(xué)的基石，并且危及其結(jié)構(gòu)。哥白尼指出宇宙比起地球來是如此巨大，以至于去談?wù)撝行氖呛翢o意義的。這種議論就更加使他與宗教對(duì)立起來了。

反駁所有這些反對(duì)意見，哥白尼和開普勒都只用了一個(gè)回答，但卻是有分量的回答。如果承認(rèn)數(shù)學(xué)關(guān)系是科學(xué)工作應(yīng)有的目標(biāo)，那么能夠給出更好的數(shù)學(xué)處理這一事實(shí)就足以壓倒一切反對(duì)意見。他們都感到并且清楚地說明了他們的工作給出了協(xié)調(diào)、對(duì)稱和神圣作坊的設(shè)計(jì)，以及上帝存在的有力證據(jù)。哥白尼說：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排下，宇宙有一種奇異的對(duì)稱性，天體運(yùn)動(dòng)和大小的協(xié)調(diào)有確定的關(guān)系，而這是不可能從其他途徑去獲得的?！遍_普勒1619年的書名是《世界的和諧》，他對(duì)上帝的無盡的頌揚(yáng)，對(duì)上帝數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的宏偉所表現(xiàn)的欽佩證明了他的信仰。

開普勒著作《世界的和諧》

一開始只有數(shù)學(xué)家支持日心說是不奇怪的。只有數(shù)學(xué)家，而且只有相信宇宙是按照數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)家，才會(huì)有足夠堅(jiān)強(qiáng)的信心擺脫那些流行的哲學(xué)上、宗教上和物理上的信念。直到伽利略把望遠(yuǎn)鏡對(duì)準(zhǔn)天空，天文學(xué)的物證才支持了數(shù)學(xué)的理論。17世紀(jì)初伽利略看到在木星周圍有四個(gè)衛(wèi)星，證明行星可以有衛(wèi)星。由此得出，地球不能因?yàn)橛性虑蚓筒皇切行恰Ｙだ赃€看到月球有一個(gè)粗糙的表面，像地球一樣有高山和深谷。所以地球也就是一個(gè)天體，未必是宇宙的中心。

最后日心說得到了承認(rèn)，因?yàn)樗?jì)算簡(jiǎn)單，因?yàn)樗膬?yōu)越的數(shù)學(xué)，還因?yàn)橛^測(cè)結(jié)果支持著它。這表明運(yùn)動(dòng)科學(xué)應(yīng)該在地球自轉(zhuǎn)又公轉(zhuǎn)的見解下改寫。簡(jiǎn)單說來，需要一個(gè)新的力學(xué)。

17世紀(jì)天文學(xué)家對(duì)光學(xué)更有興趣了，因?yàn)榭諝鈱?duì)光線產(chǎn)生折射效應(yīng)，這就給星球的位置以一種假象。16世紀(jì)末，發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡和顯微鏡，它們打開了新的世界。在17世紀(jì)，幾乎所有的數(shù)學(xué)家都研究過光學(xué)和透鏡。

6、文藝復(fù)興時(shí)期評(píng)注

文藝復(fù)興時(shí)期在數(shù)學(xué)方面沒有出現(xiàn)任何杰出的新成就。文學(xué)、繪畫、建筑領(lǐng)域中創(chuàng)造出很多杰作，它們至今仍是我們文明的一部分。在科學(xué)方面，日心說使最好的希臘天文學(xué)說黯然失色，使阿拉伯或中世紀(jì)的貢獻(xiàn)相形見絀。對(duì)于數(shù)學(xué)來說，這一時(shí)期主要是一個(gè)吸收希臘成果的時(shí)期，與其說是古代文化的新生，倒不如說是它的再現(xiàn)。

對(duì)于數(shù)學(xué)的茁壯成長(zhǎng)同樣重要的是，它又像亞歷山大時(shí)代那樣建立起和科學(xué)、技術(shù)的密切聯(lián)系。在科學(xué)方面，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)定律歸根到底是終極的目標(biāo)；在技術(shù)方面，認(rèn)識(shí)到以數(shù)學(xué)式子來表達(dá)研究結(jié)果是知識(shí)最完善、最有用的形式，是設(shè)計(jì)和施工最有把握的向?qū)А＿@樣的估價(jià)保證了數(shù)學(xué)成為現(xiàn)代的一個(gè)主要力量，還保證了數(shù)學(xué)的新發(fā)展。

下一講16、17世紀(jì)的算術(shù)和代數(shù)。