網(wǎng)上可以看到了很多這樣的平面幾何題：一個(gè)簡(jiǎn)單的圖里標(biāo)出了幾個(gè)角度，讓求另外一個(gè)角。比如下面這些：

這些題看上去都不復(fù)雜，但稍微思考一下也會(huì)發(fā)現(xiàn)它們并不平凡。平面幾何愛(ài)好者們給這類(lèi)問(wèn)題起了個(gè)形象的名字——“角格點(diǎn)”?！敖歉顸c(diǎn)”問(wèn)題都可以用角元塞瓦定理強(qiáng)行計(jì)算出來(lái)，最終會(huì)歸結(jié)為一些三角函數(shù)恒等式。這種方法缺乏美感，而且往往都是先猜出答案再去湊過(guò)程，感覺(jué)沒(méi)有觸碰到本質(zhì)。我查了一些資料后發(fā)現(xiàn)，“角格點(diǎn)”問(wèn)題起源于一位英國(guó)數(shù)學(xué)老師Edward Mann Langley。1922年，他在自己創(chuàng)辦的數(shù)學(xué)教育雜志The Mathematical Gazette里面給出了以下問(wèn)題：

這里寫(xiě)一個(gè)簡(jiǎn)單的平面幾何做法：

在  上取一個(gè)點(diǎn)  ，使得  ，連  ,  。結(jié)合圖中已經(jīng)給出的角度可以計(jì)算出  ,  , , 。于是 ,  ,  ，所以  。根據(jù)  ,  ，得知  是等邊三角形。所以  ,  ，所以  ,  。于是  ，所以  。

反觀上面這個(gè)方法，可以發(fā)現(xiàn)它依賴(lài)于每個(gè)角具體的度數(shù)。假如把題目中的  ,  分別改成 ,  ，同樣的方法就不再適用了。而且我們也不敢說(shuō)此時(shí)  仍是一個(gè)整數(shù)度的角。如果用角元塞瓦定理計(jì)算此時(shí)的  ，可以證明它不是有理數(shù)（本文說(shuō)角是有理數(shù)指的是有理數(shù)倍的  ）。這說(shuō)明并不是隨便寫(xiě)幾個(gè)角度，都能構(gòu)成一個(gè)“角格點(diǎn)”問(wèn)題。事實(shí)上，目前“角格點(diǎn)”問(wèn)題已經(jīng)被完全分類(lèi)了，下面就要介紹如何分類(lèi)“角格點(diǎn)”。

首先需要嚴(yán)格定義“角格點(diǎn)”。通過(guò)觀察上面貼出的許多“角格點(diǎn)”問(wèn)題可以發(fā)現(xiàn)，每個(gè)“角格點(diǎn)”問(wèn)題都屬于以下三種形式中的一種：

它們有一個(gè)共同的描述方法：

已知  和  的全部?jī)?nèi)角，并且都是有理數(shù)。求  與某個(gè)其他線(xiàn)段的夾角。

為了使其成為好的“角格點(diǎn)”問(wèn)題，?處的角度也需要是有理數(shù)，于是圖中所有的角都是有理數(shù)。因此我們給“角格點(diǎn)”如下定義：

如果平面上4個(gè)點(diǎn)之間形成的所有角都是有理數(shù)，就稱(chēng)這4個(gè)點(diǎn)為“角格點(diǎn)”。

首先我們要通過(guò)一些輔助線(xiàn)，將分類(lèi)“角格點(diǎn)”轉(zhuǎn)換為一個(gè)數(shù)論問(wèn)題。該想法源自一位網(wǎng)名為aerile_re的日本女性，后來(lái)被稱(chēng)為“三外心方法”^[1]。

假設(shè)  是“角格點(diǎn)”。先取  和  的外心  和  ，再取  的外心  ，然后將  繞  旋轉(zhuǎn)到  ，將  繞  旋轉(zhuǎn)到  。利用外心的性質(zhì)可以知道折線(xiàn)  的每一段長(zhǎng)度都相等，并且相鄰線(xiàn)段的夾角均為有理數(shù)， 和  ,  的夾角也都是有理數(shù)。利用 是  的外心還可以得到  ,  ,  之間的關(guān)系。

后文中我們將  定義為把射線(xiàn)  繞  逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與射線(xiàn)  重合的位置所轉(zhuǎn)過(guò)的角度，并且角的相等指的是  后相等。簡(jiǎn)單的思考可以得出以下結(jié)論：

折線(xiàn)  能夠按圖中方式反向構(gòu)造“角格點(diǎn)”的充分必要條件是：
1、閉折線(xiàn)  中相鄰線(xiàn)段的夾角都是有理數(shù)；
2、  ；
3、  .

有理數(shù)角度和等長(zhǎng)線(xiàn)段讓我們聯(lián)想到單位根。如果將圖放到復(fù)平面里，把  定為原點(diǎn)，  定為實(shí)軸，  定為單位長(zhǎng)度，把向量  對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記為  。則上面的三個(gè)性質(zhì)等價(jià)于：

1、  都是單位根；
2、  是實(shí)數(shù)；
3、  .

這是個(gè)不定方程，我們把滿(mǎn)足上述方程的6元有序?qū)ΨQ(chēng)為一個(gè)“格點(diǎn)組”。在解方程之前先思考一下“格點(diǎn)組”和“角格點(diǎn)”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。它們并不是一對(duì)一的。在“角格點(diǎn)”的定義中，  地位相同。但從  構(gòu)造  的過(guò)程中，對(duì)  的待遇不公平。如果將圖中  的標(biāo)簽重新排列，而不改變構(gòu)造  的過(guò)程，最后得到的折線(xiàn)并不全等，因此得到的“格點(diǎn)組”  也不同，但它們會(huì)給出相同的“角格點(diǎn)”。

通過(guò)冗長(zhǎng)乏味的導(dǎo)角可以發(fā)現(xiàn)，  的24種置換對(duì)  產(chǎn)生的影響都不同，例如交換  后得到的“格點(diǎn)組”是  。除此之外，改變“角格點(diǎn)”的定向又會(huì)得到24個(gè)新的“格點(diǎn)組”。因此每個(gè)角格點(diǎn)會(huì)對(duì)應(yīng)48個(gè)“格點(diǎn)組”。

另一方面，如果  是“格點(diǎn)組”，通過(guò)對(duì)其中某幾個(gè)項(xiàng)取負(fù)共軛、做適當(dāng)置換或是整體去負(fù)，一共可以得到1440個(gè)本質(zhì)相同的“格點(diǎn)組”。因此每個(gè)“格點(diǎn)組”都對(duì)應(yīng)  個(gè)本質(zhì)相同但可能不全等的“角格點(diǎn)”。

下面介紹如何解這個(gè)不定方程。我們先把目光集中到2，2可以等價(jià)地改寫(xiě)為：

2'、 

等式左邊是12個(gè)單位根的和，右邊是0。如何讓若干個(gè)單位根的和是0，這個(gè)問(wèn)題已經(jīng)有人研究過(guò)了^[2]，這里只給出大概想法和結(jié)論。

我們將形如  （每個(gè)  都是單位根）的等式稱(chēng)為一個(gè)“關(guān)系”，如果一個(gè)“關(guān)系”內(nèi)不包含其他任何“關(guān)系”，即不存在  的子集使得和為0，我們就稱(chēng)這個(gè)關(guān)系為“極小關(guān)系”。每個(gè)“關(guān)系”旋轉(zhuǎn)任意有理數(shù)角度（即乘一個(gè)單位根）或整體取共軛后仍然是一個(gè)“關(guān)系”，我們把這樣的兩個(gè)“關(guān)系”叫做等價(jià)的。根據(jù)分圓多項(xiàng)式的不可約性，我們得知對(duì)于素?cái)?shù)  ，  是“極小關(guān)系”，其中  。容易歸納證明，每個(gè)“關(guān)系”都是若干個(gè)“極小關(guān)系”的和。于是我們只需要找到所有單位根數(shù)量不超過(guò)12的“極小關(guān)系”即可。這個(gè)過(guò)程是困難且枯燥的，這里直接說(shuō)結(jié)論。

在描述結(jié)論之前需要先介紹一些記號(hào)。將上面提到的素?cái)?shù)分圓多項(xiàng)式構(gòu)成的“關(guān)系” 記為  。如果  和  都是“關(guān)系”，而且  中單位根的數(shù)量不超過(guò)  。更進(jìn)一步，如果還可以將每個(gè)  適當(dāng)?shù)匦D(zhuǎn)得到  ，使得每個(gè)  都和  恰有一個(gè)公共單位根，并且每個(gè)  和  的公共單位根都不同，我們就可以用  減去  得到一個(gè)新的“關(guān)系”，記為  。如果  全部相同，可以把  簡(jiǎn)記為  。要注意到，上面的操作中選擇不同的旋轉(zhuǎn)有可能得到不等價(jià)的“關(guān)系”，即  表示的是一類(lèi)“關(guān)系”，不是一個(gè)特定的“關(guān)系”。舉個(gè)例子，  和  都屬于  這一類(lèi)，但不等價(jià)。

結(jié)論：?jiǎn)挝桓鶖?shù)量不超過(guò)12的“極小關(guān)系”一共有107種，并且都可以從  出發(fā)反復(fù)利用上述操作得到。具體見(jiàn)下表。

表格左邊這列表示“關(guān)系”中含有的單位根數(shù)量，右邊這列表示該類(lèi)“關(guān)系”的總個(gè)數(shù)。

下面這個(gè)表列出了所有單位根數(shù)量為12的“關(guān)系”類(lèi)型。

有了這個(gè)結(jié)論，就已經(jīng)把“格點(diǎn)組”限制在有限多種情況里了，之后只需挑出滿(mǎn)足那3個(gè)條件的。該過(guò)程可以由計(jì)算機(jī)暴力枚舉完成^[2]。

最后的工作就是畫(huà)出所有“格點(diǎn)組”對(duì)應(yīng)的折線(xiàn)  ，然后復(fù)原“角格點(diǎn)”。之前提到了每個(gè)“格點(diǎn)組”都對(duì)應(yīng)30個(gè)本質(zhì)相同的“角格點(diǎn)”，它們幾何上的關(guān)系如下圖所示：

圖中的  有以下70種取值：

1、  
第1種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
2、  
第2種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
3、  
4、  
5、  
第3~5種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
6、  
7、  
8、  
9、  
10、  
11、  
12、  
13、  
14、  
15、  
16、  
第6~16種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
17、  
18、  
19、  
20、  
第17~20種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
21、  
22、  
23、  
24、  
25、  
26、  
27、  
28、  
第21~28種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
29、  
30、  
31、  
32、  
33、 
34、  
35、  
36、  
37、  
38、  
39、  
40、  
41、  
42、  
43、  
44、  
第29~44種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
45、  
46、  
47、  
48、  
49、  
50、  
51、  
52、  
第45~52種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
53、  
54、  
55、  
56、  
57、  
58、  
第53~58種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
59、  
60、  
61、  
62、  
63、  
64、  
65、  
66、  
第59~66種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為  
67、  
68、  
69、  
70、  
第67~70種所屬“關(guān)系”類(lèi)型為 

至此，“角格點(diǎn)”分類(lèi)完成。

對(duì)于一些平面幾何愛(ài)好者來(lái)說(shuō)，“角格點(diǎn)”的分類(lèi)雖然在邏輯上徹底解決了“角格點(diǎn)”問(wèn)題，但缺乏平面幾何的美感。文章的最后就介紹一種可以解決所有“角格點(diǎn)”問(wèn)題的平面幾何方法，即上文提到的“三外心方法”。思路是把用  構(gòu)造“關(guān)系”的過(guò)程翻譯成平面幾何語(yǔ)言，再整合到“三外心方法”的圖中^[1]。

這里舉一個(gè)具體的例子來(lái)展示這種思想：

我們可以站在上帝視角判斷出上圖的“角格點(diǎn)”為第69種，并且對(duì)應(yīng)第9行第2個(gè)圖。因此答案是  。它所屬的“關(guān)系”類(lèi)型為  ，對(duì)應(yīng)的“格點(diǎn)組”是  。接下來(lái)我們將用平面幾何方法直接構(gòu)造出上面的“角格點(diǎn)”，于是也就證明了  是正確答案。

首先按下圖所示的方式畫(huà)1個(gè)正七邊形、1個(gè)正五邊形和2個(gè)正三角形，并關(guān)注其中的綠色線(xiàn)段，它們構(gòu)成了一條閉折線(xiàn)。這條閉折線(xiàn)是上下對(duì)稱(chēng)的，而且任意兩個(gè)相鄰線(xiàn)段的夾角都可以簡(jiǎn)單計(jì)算出來(lái)。

圖中給每個(gè)線(xiàn)段標(biāo)了號(hào)，將它們按下圖方式重新排列但不改變每條線(xiàn)段的方向，可以得到另一條上下對(duì)稱(chēng)的閉折線(xiàn)，而且任意兩個(gè)相鄰線(xiàn)段的夾角仍然可以簡(jiǎn)單計(jì)算出來(lái)。至于為什么是上下對(duì)稱(chēng)的，稍微思考一下即可理解（原先對(duì)稱(chēng)的線(xiàn)段在重新排列后仍是對(duì)稱(chēng)的）。

我們舍棄上半部分，只看下半部分：

圖中的角度分別為：

然后用折線(xiàn)  反向構(gòu)造出“角格點(diǎn)”：

將  繞  點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到  ，根據(jù)之前得到的那些角度可以計(jì)算出 ，于是  。以  為圓心  為半徑作圓，再以  為圓心  為半徑作圓，設(shè)兩圓除  外的另一個(gè)交點(diǎn)是  。那么  是  的外心，  是  的外心，  是  的外心。利用外心相關(guān)的角度關(guān)系，可以計(jì)算出：
 
故我們構(gòu)造出的“角格點(diǎn)”就是題目中的“角格點(diǎn)”。

至此，我們用平面幾何證明了上面那題的答案是  。

參考

1. ^^ab斉藤 浩, 初等幾何で整角四角形を完全制覇
2. ^^abBjorn Poonen and Michael Rubinstein, The Number of Intersection Points Made by The Diagonals of A Regular Polygon

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/105111160