學(xué)過微積分的人都知道泰勒展開公式，它是將一個在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來逼近函數(shù)的方法，用標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)術(shù)語來描述是這樣的：

若函數(shù)f（x）在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù)，且在開區(qū)間（a,b）上具有（n 1）階導(dǎo)數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x，成立下式：

其中，表示f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，等號后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f（x）在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余項(xiàng)，是（x-x0）n的高階無窮小。

1、泰勒公式產(chǎn)生的背景

泰勒當(dāng)年為什么要發(fā)明這條公式？因?yàn)楫?dāng)時數(shù)學(xué)界對簡單函數(shù)的研究和應(yīng)用已經(jīng)趨于成熟，而對于一些復(fù)雜函數(shù)如 sinx，cosx，e^x等，在計算任意一點(diǎn)如當(dāng)x=2.3相應(yīng)的函數(shù)值等于多少，這些數(shù)據(jù)通常需要借助計算器才可以計算出來，而且只是得到一個近似值。因此數(shù)學(xué)家們就開始了漫長的思考之路，有沒有辦法跟這些表達(dá)式的圖像長得差不多的一個多項(xiàng)式函數(shù)呢？說白了就是sinx，conx這類函數(shù)能不能用多項(xiàng)式去表達(dá)呢？這就是泰勒展開式的出發(fā)點(diǎn)！換句話說，泰勒展開公式，是對展開點(diǎn)附近的函數(shù)，進(jìn)行的一個“誤差可控多項(xiàng)式仿真”。比如按照上述公式，sin(x)的多項(xiàng)式仿真如下，有了下面的多項(xiàng)式仿真表達(dá)式，求任意點(diǎn)的函數(shù)值就變得非常容易了。

下圖為在x=Pi處對cos(x)進(jìn)行多項(xiàng)式二次仿真的動態(tài)圖。

2、泰勒公式的幾何意義

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f‘(x0)約等于 f(x)-f(x0) / x-x0,

如果只考慮二項(xiàng)，也即有如下公式：

3、泰勒公式的哲學(xué)意義

• “導(dǎo)數(shù)”的真諦

大家都知道《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》是牛頓的一本劃時代名著，數(shù)學(xué)即哲學(xué)，按照這種思想我們先理解一下導(dǎo)數(shù)的哲學(xué)含義。”導(dǎo)“在中文中的基本意思是”方向“的意思，所以導(dǎo)數(shù)也可以叫做”方向數(shù)“，它是表征函數(shù)每一時刻所正在運(yùn)行的方向，它決定了函數(shù)的運(yùn)行，所以說“導(dǎo)數(shù)”是函數(shù)的原因，函數(shù)是“導(dǎo)數(shù)”的結(jié)果。舉例來說：

速度是位移的導(dǎo)數(shù)，速度導(dǎo)致了位移；

加速度是速度的導(dǎo)數(shù)，加速度導(dǎo)致了速度。

• 高維低階

舉個例子，假設(shè)位移 s=x^2 x，則速度v=2x 1，兩者在坐標(biāo)系中的分布如下圖所示。

在上圖中，速度函數(shù)v(t)與在X軸上的投影圍成的圖形面積為位移s，該面積與s(t)在t=2時的取值剛好相等。此外，我們還發(fā)現(xiàn)：v比s的階低，v是1次多項(xiàng)式，s是2次多項(xiàng)式，也就是高維下的表達(dá)，往往就比低維下簡單！

二維到三維，是工程制圖的升維飛躍，學(xué)過工程制圖的同學(xué)深有體會，一個復(fù)雜結(jié)構(gòu)，如果畫在平面圖中，需要有：正視圖/左視圖/上視圖/甚至斜視圖/剖面圖等等，特別復(fù)雜，但如果在三維作圖軟件中作三維模型，一個模型就足夠了，就是這個道理。

物理學(xué)發(fā)展史中，這樣的故事層出不窮。最開始探索的物理學(xué)家的理解比較淺也比較局限，提出的理念往往很復(fù)雜，后來的物理學(xué)家在他們基礎(chǔ)上，統(tǒng)一整合了一類理論，提出新的理論反而是形式簡潔美妙，這就是升維思維的奇功。簡潔的物理公式，其實(shí)是最高級的。

• 泰勒公式的真諦

按照以上理解，泰勒公式就可以理解成：

如果進(jìn)一步展開，則有如下意義：

4、敏捷研發(fā)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

敏捷開發(fā)（Agile）是一種以人為核心、迭代、循序漸進(jìn)的開發(fā)方法。在敏捷開發(fā)中，軟件項(xiàng)目的構(gòu)建被切分成多個子項(xiàng)目，各個子項(xiàng)目的成果都經(jīng)過測試，具備集成和可運(yùn)行的特征。

敏捷開發(fā)并不追求前期完美的設(shè)計、完美編碼，而是力求在很短的周期內(nèi)開發(fā)出產(chǎn)品的核心功能，盡早發(fā)布出可用的版本，然后在后續(xù)的生產(chǎn)周期內(nèi)，按照新需求不斷迭代升級，完善產(chǎn)品。

用泰勒公式來解釋，這里在很短時間內(nèi)開發(fā)出的產(chǎn)品核心功能即f(x0)，只是這里的f(x0)并不完全等于客戶的需求，兩者存在一個“差值”。在后續(xù)每個迭代中通過各種不同形式的測試以及不同的會議對產(chǎn)品進(jìn)行不斷的完善，即對原始產(chǎn)品f(x0)進(jìn)行不斷修訂，直至達(dá)到符合客戶的要求，實(shí)現(xiàn)對客戶需求進(jìn)行“仿真”的目的。