四點(diǎn)共圓既是一類問題，又是平面幾何中一個(gè)重要的證明方法，它和證明三角形全等和相似三角形有著同等重要的地位，這是因?yàn)?，某四點(diǎn)共圓，不但與這四點(diǎn)相聯(lián)系的條件集中或轉(zhuǎn)移，而且可直接運(yùn)．用圓的性質(zhì)為解題服務(wù)．三角形輔助圓中尤其是定角定高模型從高中的運(yùn)用中逐漸下放到初中的壓軸里面難度不小。

如圖：若∠ACB為定值a°，CD為線段AB的高線，且CD為定值。AB為直線動點(diǎn)。始終保持CD與∠ACB不變。這種圖形成為定角定高模型，又稱為探照燈模型。

當(dāng)AB在直線運(yùn)動的過程中，若以ABC為頂點(diǎn)構(gòu)造輔助圓，則如圖圓心為O

則連接OC，OA，OB為半徑，過O做OE垂直與AB，垂足為E，則∠AOB=2a°，OE=AO×sin∠（90°-a），CO+OE≥CD，即r+r×sin∠（90°-a）≥CD，當(dāng)圓心O在OD上時(shí)，半徑最小，AB也最小。

如圖，此時(shí)三角形ABC面積最小，三角形ABC周長也最小。

在四邊形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的兩動點(diǎn)，且∠EAF＝60°．

（1）求出四邊形ABCD的面積．

（2）△AEF是否存在周長最小值？若存在，求出最小值．若不存在，說明理由．

（3）△AEF是否存在面積最小值？若存在，求出最小值．若不存在，說明理由．

（1）如圖①，已知線段AB，以AB為斜邊，在圖中畫出一個(gè)直角三角形；

（2）如圖②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD為AB邊上的高，若CD＝4，試判斷AB是否存在最小值，若存在，請求出AB最小值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖③，某園林單位要設(shè)計(jì)把四邊形花園劃分為幾個(gè)區(qū)域種植不同花草，在四邊形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6√2，點(diǎn)E、F分別為AB、AD上的點(diǎn)，若保持CE⊥CF，那么四邊形AECF的面積是否存在最大值，若存在，請求出面積的最大值，若不存在，請說明理由．

【分析】

（1）構(gòu)造輔助圓，利用直徑所對圓周角相等解決問題即可．

（2）如圖2中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．設(shè)OA＝OC＝2x．求出x的最小值即可解決問題．

（3）如圖③中，連接AC，延長BC交AD的延長線于G，將△CDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．由（2）可知，當(dāng)△CEH的外接圓的圓心O在線段BC上時(shí)，△ECH的面積最小，此時(shí)四邊形AFCE的面積最大．

【解答】

解：（1）如圖①中，△ABC即為所求．

（2）如圖②中，作△ABC的外接圓⊙O，連接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．設(shè)OA＝OC＝2x．

（3）如圖③中，連接AC，延長BC交AD的延長線于G，將△CDF順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△CBH，作△CEH的外接圓⊙O．

∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，

∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），

【點(diǎn)評】

本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的外接圓，解直角三角形，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考壓軸題．