【原】FIR濾波器串講之1——零點(diǎn)及其分布

許康華競(jìng)賽優(yōu)學(xué) 2020-08-26

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本文主要給考研學(xué)生答疑，對(duì)于有共性的問(wèn)題，估計(jì)很多學(xué)生都存在的問(wèn)題，我會(huì)挑選出來(lái)重點(diǎn)講解。對(duì)于沒(méi)有共性的問(wèn)題則會(huì)和學(xué)生個(gè)別交流。

我的同事馮地耘老師對(duì)專業(yè)研究精深，他對(duì)我的提示和對(duì)問(wèn)題的洞見(jiàn)，使我更加注意寫作的重點(diǎn)，感謝馮老師！

本文中的個(gè)別問(wèn)題也得到我所在的一個(gè)奧數(shù)興趣微信群“王丞相”（王仕奎、陳學(xué)輝、相偉三人首字）的討論。

FIR濾波器串講之1——零點(diǎn)及其分布

王仕奎

極點(diǎn)有什么用
補(bǔ)充一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)
回答學(xué)生的問(wèn)題

FIR濾波器很復(fù)雜, 需要解釋的東西很多. 首先從零點(diǎn)講起, 最后順便回答一個(gè)學(xué)生上次的提問(wèn). 不過(guò), 我有時(shí)不僅僅局限在FIR濾波器, 因?yàn)?/span>FIR濾波器只有零點(diǎn)而沒(méi)有極點(diǎn).

一. 零、極點(diǎn)有什么用

零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)于濾波器的特性是很重要的. IIR濾波器包含零點(diǎn)和極點(diǎn), 而FIR濾波器沒(méi)有極點(diǎn), 只有零點(diǎn). FIR沒(méi)有極點(diǎn)的好處是永遠(yuǎn)是穩(wěn)定的, 不存在是否穩(wěn)定的問(wèn)題. 正如俗話說(shuō)的: “有一利必有一弊”, FIR濾波器也因此變得比較復(fù)雜, 往往需要很高的階數(shù)(幾十階是很常見(jiàn)的)才能達(dá)到要求. 而IIR濾波器有時(shí)很低的階數(shù)解可以達(dá)到設(shè)計(jì)要求, 比如我在課堂上演示的橢圓濾波器設(shè)計(jì), 只需要3階就可以實(shí)現(xiàn)很苛刻的設(shè)計(jì)要求(用Matlab設(shè)計(jì)IIR濾波器隱藏了所有的細(xì)節(jié)). 除了不存在是否穩(wěn)定的問(wèn)題外, FIR濾波器還可以保證線性相位, 這一點(diǎn)IIR濾波器是很難做到的, 能夠做到也很復(fù)雜.

零點(diǎn)和極點(diǎn)共同決定系統(tǒng)的特性, 它們經(jīng)常聯(lián)系在一起. 討論零點(diǎn)有時(shí)離不開(kāi)極點(diǎn). 下面的討論適用于模擬系統(tǒng)和數(shù)字系統(tǒng).

①首先, 零點(diǎn)對(duì)時(shí)域沖激響應(yīng)的幅度和位置(即相位)有重要影響.

②零極點(diǎn)抵消, 可以使得某些沖激響應(yīng)成分消失.

③零極點(diǎn)的恰當(dāng)搭配, 可以構(gòu)成全通系統(tǒng)[1], 即所有頻率成分都不改變幅度地完全通過(guò). 這時(shí), 極點(diǎn)在復(fù)平面左半平面, 零點(diǎn)在右半平面, 并且極點(diǎn)和零點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱. 全通系統(tǒng)不改變幅頻特性, 但是可以改變相頻特性. 全通系統(tǒng)可用于相位均衡(或稱相位補(bǔ)償).

④有一種系統(tǒng)叫做最小相位系統(tǒng)[1], 具有最小的相位滯后, 其群時(shí)延最小. 最小相位系統(tǒng)的零點(diǎn)都在單位圓里面. 最小相位系統(tǒng)在一般IIR濾波器的分解中有重要應(yīng)用.

⑤ FIR濾波器的一些特殊零點(diǎn)具有特殊含義, 將在后面講到.

二. 補(bǔ)充一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)

由于FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)高次代數(shù)方程, 下面補(bǔ)充一點(diǎn)代數(shù)方程的知識(shí).

①定理1 代數(shù)基本定理

對(duì)于FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù), 還有一個(gè)重要性質(zhì), 即對(duì)稱性(包括偶對(duì)稱和奇對(duì)稱), 這時(shí)系統(tǒng)的零點(diǎn)還有一個(gè)重要性質(zhì), 作為本文的定理3.

等四個(gè)復(fù)數(shù)都是零點(diǎn).

如果零點(diǎn)在單位圓上, 那么另當(dāng)別論, 這就要回答上次一個(gè)學(xué)生的提問(wèn)了.

三. 回答學(xué)生的問(wèn)題

首先回答學(xué)生發(fā)來(lái)的題目, 如下所示.

至此, 第1問(wèn)的9個(gè)零點(diǎn)都得到了. 至于第2問(wèn), 就是進(jìn)行多項(xiàng)式化簡(jiǎn)了, 也有一點(diǎn)技巧, 這里不討論.

下面對(duì)學(xué)生提出的另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行詳細(xì)解釋. 該學(xué)生發(fā)來(lái)如下圖片, 是文獻(xiàn)[2]或者配套輔導(dǎo)材料里面的內(nèi)容.

為了回答學(xué)生的第2個(gè)問(wèn)題, 下面不加證明地給出幾個(gè)結(jié)論:

①兩個(gè)偶對(duì)稱多項(xiàng)式相乘, 結(jié)果還是偶對(duì)稱多項(xiàng)式;

②兩個(gè)奇對(duì)稱多項(xiàng)式相乘, 結(jié)果還是偶對(duì)稱多項(xiàng)式;

③一個(gè)奇對(duì)稱多項(xiàng)式和一個(gè)偶對(duì)稱多項(xiàng)式相乘, 結(jié)果是奇對(duì)稱多項(xiàng)式.

有了上面三個(gè)結(jié)論, 下面具體分析在1和-1處的零點(diǎn)特性.

第一種情況, I型FIR濾波器: 階數(shù)為偶數(shù), 偶對(duì)稱.

由于一共有偶數(shù)個(gè)根, 且是偶對(duì)稱, 則在z = 1處必有偶數(shù)個(gè)零點(diǎn)(0也算偶數(shù)). 否則, 由前述三個(gè)結(jié)論, 奇數(shù)個(gè)奇對(duì)稱多項(xiàng)式相乘, 還是奇對(duì)稱多項(xiàng)式, 再乘以z = -1所對(duì)應(yīng)的偶對(duì)稱多項(xiàng)式和其他可能的偶對(duì)稱多項(xiàng)式, 整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)必為奇對(duì)稱.