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閱讀提示 華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)》雜志在“繼承與發(fā)展”欄目陸續(xù)刊發(fā)新青年數(shù)學(xué)教師工作室成員文章，解讀張奠宙先生關(guān)于數(shù)學(xué)教育的名言，緬懷張先生，繼承與發(fā)揚(yáng)張先生的數(shù)學(xué)教育思想。楊元韡.欣賞數(shù)學(xué)的真善美——張奠宙先生數(shù)學(xué)教育名言解讀[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2020(4)：47-50.——張奠宙先生數(shù)學(xué)教育名言解讀
楊元韡(江蘇省常州高級中學(xué)，新青年數(shù)學(xué)教師工作室)
名言：欣賞數(shù)學(xué)的真善美，就成為數(shù)學(xué)教育的一項重要的任務(wù).出處：張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2010(1-2)：3-7.張奠宙先生(以下稱張先生)認(rèn)為，世上萬物，以真善美為最高境界.數(shù)學(xué)自然也有自己的真善美.欣賞數(shù)學(xué)的真善美，就成為數(shù)學(xué)教育的一項重要的任務(wù).“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”與“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”之間的一個重大區(qū)別，就在于是否具有“數(shù)學(xué)欣賞”的內(nèi)涵.但是，數(shù)學(xué)的真善美往往被淹沒在形式演繹的海洋里，需要大力挖掘、用心體察才能發(fā)現(xiàn)、感受、體驗(yàn)與欣賞.[1]對數(shù)學(xué)的真善美的論述在數(shù)學(xué)史上早已存在，很難追尋其源頭.一些大數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的真善美(或其中一方面)都有相關(guān)的論述.以數(shù)學(xué)美為例，經(jīng)典的論述有：“美是首要標(biāo)準(zhǔn)；不美的數(shù)學(xué)在世界上是找不到永久的容身之地的”(英國著名數(shù)學(xué)家哈代)；“數(shù)學(xué)家首先會從他們的研究中體會到類似于繪畫和音樂那樣的樂趣；他們贊賞數(shù)和形的美妙的和諧；……”(法國數(shù)學(xué)家龐加萊).而張先生提出了欣賞數(shù)學(xué)的真善美，著重是欣賞，指出欣賞也是教育的一部分，并將欣賞數(shù)學(xué)的真善美提升到“數(shù)學(xué)教育的一項重要任務(wù)”這一高度.基于欣賞數(shù)學(xué)的真善美的教學(xué)實(shí)踐相對較少的基本現(xiàn)狀，張先生認(rèn)為數(shù)學(xué)欣賞(包括對數(shù)學(xué)的真善美的欣賞)仍是一片等待開發(fā)的沃土.為此，張先生身體力行，為指導(dǎo)教師如何去引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的真善美投入了很多精力，花了很多心血.例如，張先生和柴俊教授在文[1]中，用10個典型的案例來說明欣賞數(shù)學(xué)的真善美的多種途徑.《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》雜志曾開設(shè)“數(shù)學(xué)欣賞”專欄，邀請張先生對一線教師撰寫的數(shù)學(xué)欣賞案例進(jìn)行點(diǎn)評.這些點(diǎn)評對提高一線教師教研水平意義重大.1.1 對數(shù)學(xué)的“真”的認(rèn)識數(shù)學(xué)的“真”體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的真理性.而數(shù)學(xué)的真理性是數(shù)學(xué)哲學(xué)的基本問題，涉及到極為深刻的哲學(xué)問題，這不是一線普通數(shù)學(xué)教師容易探討的問題.張先生引用了愛因斯坦的一段話，簡明扼要地說明了數(shù)學(xué)的“真”——數(shù)學(xué)命題的絕對可靠性和無可爭辯性.數(shù)學(xué)的“真”是和數(shù)學(xué)所使用的邏輯演繹方法密切相關(guān)，這也使得數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密性的特點(diǎn).1.2 欣賞數(shù)學(xué)的“真”的途徑——對比分析與提出問題并揭示本質(zhì)張先生指出對欣賞數(shù)學(xué)的“真”存在著這樣的誤區(qū)：認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)好了，會解題了，思維就嚴(yán)密了，數(shù)學(xué)的“真”也就得以體現(xiàn)了.事實(shí)上，學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的“真”往往是不容易的，是需要教師的指導(dǎo)的.張先生認(rèn)為對比分析、提出問題并揭示本質(zhì)等是欣賞數(shù)學(xué)的“真”的重要途徑.對比分析是讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的“真”，充分感受數(shù)學(xué)的理性精神的重要途徑.例如，中國古代數(shù)學(xué)中沒有“對頂角相等”這個命題，而在古希臘數(shù)學(xué)中有這個命題，而且還用公理對其進(jìn)行了證明，通過對比分析可知古希臘數(shù)學(xué)的理性精神之偉大；再如，“三角形的內(nèi)角和是180度”這個命題不是像物理學(xué)中“拼一拼”“量一量”等操作得到的，而是從公理出發(fā)用邏輯推理的方式得到，通過對比分析可知數(shù)學(xué)與物理學(xué)的差異，數(shù)學(xué)的結(jié)論是無可爭辯的，物理往往更重視實(shí)驗(yàn)結(jié)果與某種規(guī)律的吻合程度.筆者在教學(xué)實(shí)踐中也遇到類似的問題，即特別明顯又需要證明的例子.例如，2017年江蘇高考第19題的第(1)問可簡要地敘述為：已知等差數(shù)列{an}，求證：an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an，其中n>3.就有少部分同學(xué)心生疑竇，這不就是三次使用等差數(shù)列的性質(zhì)(若m+n=p+q，則am+an=ap+aq)嗎？這還需要證明嗎？事實(shí)上，本題就是相當(dāng)于證明等差數(shù)列的這個性質(zhì)，可以回到原點(diǎn)，即利用等差數(shù)列的通項公式來證明.通過少部分學(xué)生認(rèn)為的“很自然的”與“需要證明”之間的對比，可以讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的理性精神的深刻性.張先生也指出，我們不能事事、時時使用公理化的邏輯思維方法，也要重視自己的直觀觀察能力.直觀與理性，是整個思維過程的兩個方面，相輔相成.[2]這就提醒教師在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中不能走極端，即不能忽視培養(yǎng)學(xué)生的直觀觀察能力，而一味地訓(xùn)練學(xué)生的形式化表達(dá).數(shù)學(xué)的“真”有時會被淹沒在形式演繹的海洋里，需要教師大力挖掘.而提出問題并揭示本質(zhì)，用樸素的道理講清楚本質(zhì)也是讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的“真”的重要途徑.例如，復(fù)旦大學(xué)張蔭南教授講授線性相關(guān)向量組時，就提出問題“這n個向量哪些是必不可少的，哪些是多余的”，揭示了線性相關(guān)背后的原始的樸素思想，并利用“承重墻與非承重墻”的比喻形象描述了這些向量.在高中數(shù)學(xué)階段，“平面向量基本定理”“空間向量基本定理”也有相同的意境.它們的基向量的個數(shù)分別為2和3，也同樣可以利用前面的樸素的思想、形象的比喻來描述.即在平面內(nèi)，至少需要幾個不共線的向量就可以表示平面內(nèi)的任意一個向量呢？在空間中，至少需要幾個不共面的向量就可以表示空間中的任意一個向量呢？再如，江蘇省特級教師樊亞東老師為了幫助學(xué)生理解形如sin(arcsinx)=x，－1≤x≤1及arcsin(sinx)=x，－π/2≤x≤π/2等抽象的等式時，就設(shè)計了很有意思的教學(xué)情境.設(shè)A={高三(1)班全體50名同學(xué)}，對應(yīng)法則f：“找爸爸”(即每位同學(xué)與其父親對應(yīng)，假定每個學(xué)生都是獨(dú)生子女)，記y=f(x)，x∈A，y∈B，則B={50位爸爸}.給出的一串問題中包含：f(張三)=？(張三的爸爸)；f-1f(張三)]=？(張三的爸爸的孩子是張三，此時f-1的意義是“找孩子”)；f-1f(b)]=？(b是一個學(xué)生的爸爸).[3]樊老師用這樣生動形象的比喻道出了“復(fù)合映射”的本質(zhì)，將數(shù)學(xué)教得更加簡單容易一些.2.1 對數(shù)學(xué)的“善”的認(rèn)識張先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識推動社會科技與文明的發(fā)展，以其獨(dú)特的方式為人類文明的發(fā)展服務(wù)，這是數(shù)學(xué)“善”的表現(xiàn).更進(jìn)一步，數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，是數(shù)學(xué)“善”的集中表現(xiàn).數(shù)學(xué)應(yīng)用往往具有隱蔽性，即在看不見的地方，數(shù)學(xué)應(yīng)用成為可能.因此，數(shù)學(xué)往往成為社會文明、科技進(jìn)步的“幕后”英雄.這樣的例子不勝枚舉.例如，傅里葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域的一種很重要的算法，它在顯示設(shè)備的成像中有著重要的應(yīng)用；再如，看似與數(shù)學(xué)應(yīng)用關(guān)系不大的數(shù)論，在公開密鑰加密體制中卻有著極其重要的應(yīng)用，對國防建設(shè)的作用巨大.數(shù)學(xué)的應(yīng)用還具有廣泛性.數(shù)學(xué)不僅僅在科學(xué)技術(shù)方面有著重要的應(yīng)用，更能深入到我們的日常生活.張先生在文[1]中舉了“三根導(dǎo)線”的例子就是很好的說明，電工師傅在“看不見數(shù)學(xué)的地方”創(chuàng)造性地應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識令人折服，從“三根導(dǎo)線”的生活例子中抽象出三元一次方程組的模型.2.2 欣賞數(shù)學(xué)的“善”的主要途徑——梳理思想數(shù)學(xué)應(yīng)用，主要通過數(shù)學(xué)模型來實(shí)現(xiàn)的.數(shù)學(xué)建模蘊(yùn)含著相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，例如代數(shù)建模的核心思想是“文字參與運(yùn)算”.通過梳理數(shù)學(xué)建模過程中蘊(yùn)含的思想，可以欣賞到數(shù)學(xué)模型的深刻性，欣賞到數(shù)學(xué)的“善”.張先生在文[1]中給出了一些具體的典型的例子說明如何梳理思想來欣賞數(shù)學(xué)的“善”.通過梳理思想來欣賞數(shù)學(xué)模型的深刻性，欣賞數(shù)學(xué)的“善”的例子有很多.筆者曾經(jīng)聽過外校老師講數(shù)學(xué)建模校本課程時的一個案例，非常典型.其問題是“某人第一天上午8時從山腳出發(fā)，到達(dá)山頂后休息，第二天8時從山頂沿著原來的路徑下山，到達(dá)山腳.說明此人必然在同一時刻(兩天的同一時刻)經(jīng)過同一地點(diǎn).”一段時候后，一學(xué)生說：建立直角坐標(biāo)系，橫軸表示時間，縱軸表示某時刻山腳與人之間的路徑長，那么第一天得到的函數(shù)圖像是從點(diǎn)(8,0)到(m,h)的不間斷的曲線(單調(diào)增)，其中m表示到達(dá)山頂?shù)臅r刻，h表示單程山路的總長；第二天得到的函數(shù)圖像是從點(diǎn)(8, h)到(n,0)的不間斷的曲線(單調(diào)減)，其中n表示到達(dá)山腳的時刻.若將兩張圖像按照坐標(biāo)軸完全重合的方式重疊，必有公共點(diǎn).這位學(xué)生利用函數(shù)思想及幾何直觀很好地說明了這一事實(shí).另一學(xué)生受到啟發(fā)后，得出更簡單的模型：假設(shè)將此人第二天的所有行程狀況完全“復(fù)制”到第一天，就是有兩個“相同的人”，都在上午8點(diǎn)出發(fā)，一“人”從山腳往山頂走，另一“人”從山頂往山腳走，“他們”必定在某一時刻某一地點(diǎn)相遇！轉(zhuǎn)化后的模型就是連小學(xué)生都能解決的“相遇”模型.這位學(xué)生能靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，他的假設(shè)是相當(dāng)大膽的，也是令人折服的！當(dāng)然，數(shù)學(xué)教育工作者理應(yīng)給予學(xué)生更多欣賞數(shù)學(xué)“善”的機(jī)會.值得欣喜的是，北京、上海等發(fā)達(dá)城市已經(jīng)開展“高中數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”或“中學(xué)生數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽”數(shù)十屆，各個層次的數(shù)學(xué)建模比賽，也如雨后春筍，在全國范圍甚至世界范圍內(nèi)開展，取得了很好的成效.各種不同的數(shù)學(xué)模型用以解決各種具體的數(shù)學(xué)問題，讓參賽者領(lǐng)略到數(shù)學(xué)模型的深刻性，梳理出模型蘊(yùn)含的思想，充分給予參賽者欣賞數(shù)學(xué)應(yīng)用的價值與欣賞數(shù)學(xué)的“善”的機(jī)會.3.1 對數(shù)學(xué)的“美”的認(rèn)識一般認(rèn)為，數(shù)學(xué)具有對稱美、簡潔美、統(tǒng)一美、奇異美等.但由于分類標(biāo)準(zhǔn)的不同，數(shù)學(xué)的“美”還會有其他不同的表現(xiàn)形式，數(shù)學(xué)的“美”的表現(xiàn)形式頗有“百家爭鳴”的味道.例如數(shù)學(xué)的“美”包括數(shù)學(xué)的某些概念的意境之美，某些性質(zhì)的思想之美，形式化表達(dá)的冷峻之美等.但無論怎樣的形式的數(shù)學(xué)“美”都能深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在的和諧或數(shù)學(xué)與其他對象之間的和諧.數(shù)學(xué)“美”只有被揭示、被發(fā)現(xiàn)，才有可能達(dá)到被欣賞的層次.張先生認(rèn)為，如何欣賞數(shù)學(xué)美，并沒有很好地去研究.3.2 欣賞數(shù)學(xué)“美”的一種途徑——構(gòu)作意境，溝通數(shù)學(xué)思考背后的人文情境構(gòu)作意境，溝通數(shù)學(xué)思考背后的人文情境，可以讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的“美”.張先生舉了一些例子，如在“無界變量”的意境之美的案例中，楊光強(qiáng)先生在課堂上引用名句“春色滿園關(guān)不住，一枝紅杏出墻來”來描述“無界變量”的概念，將任意正數(shù)M比喻成無論怎樣大的園子，變量xn相當(dāng)于紅杏，結(jié)果總有一枝紅杏xn會越出園子的范圍.如此貼切的比喻，如此生動的意境，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與文學(xué)相統(tǒng)一的意境之美.張先生還給出“對稱與對聯(lián)”，純粹的意境性的數(shù)學(xué)美學(xué)欣賞等案例.這種構(gòu)作意境的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與人文在某種程度上的一種和諧，體現(xiàn)了超越數(shù)學(xué)學(xué)科本身的一種和諧，當(dāng)然這需要教師具有一定的人文功底.事實(shí)上，數(shù)學(xué)教師大多是以理科為背景，人文功底強(qiáng)的不多，因此這樣的實(shí)踐并不多.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育工作者多讀一些人文方面的書籍是有必要的.3.3 張奠宙先生對數(shù)學(xué)的“美”的其他觀點(diǎn)概述3.3.1 數(shù)學(xué)美學(xué)教育的四個層次張先生給出了關(guān)于數(shù)學(xué)美學(xué)教育四個層次：美觀、美好、美妙、完美.[4]這個分類得到大多數(shù)數(shù)學(xué)教育工作者認(rèn)同，也被不少數(shù)學(xué)方法論專著(如文[5])引用.這四個層次是層層遞進(jìn)的，其中最高的層次是完美，數(shù)學(xué)要盡力做到至善至美，完美無缺，這是數(shù)學(xué)的最高“品質(zhì)”和最高的精神“境界”.一線數(shù)學(xué)教師要盡可能引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到欣賞數(shù)學(xué)的“美”的第三個層次，即欣賞數(shù)學(xué)的美妙.3.3.2 為了欣賞數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)的冰冷的美麗，需要數(shù)學(xué)教育形態(tài)的“火熱思考”在文[6]、[7]中，張先生較早地給出了數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)的有關(guān)觀點(diǎn)，與數(shù)學(xué)“美”也是相關(guān)的.張先生認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)之一，是要把數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教育形態(tài).實(shí)際上，數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)通常表現(xiàn)為冰冷的美麗，而數(shù)學(xué)的教育形態(tài)正是一種火熱的思考.只有真正經(jīng)歷這種火熱的思考，才能更為真切地欣賞和理解學(xué)術(shù)形態(tài)的那種冰冷的美麗.張先生還指出，數(shù)學(xué)的表達(dá)方式仍然是形式化的.數(shù)學(xué)形式化是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，冰冷的形式化依舊是美麗的.火熱的思考是為了理解，所以需要在冰冷的美麗與火熱的思考之間要尋找平衡點(diǎn)，做到既有形式的表述更有火熱的思考，而不要淹沒在形式的海洋中.3.4 筆者對“將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)”的兩點(diǎn)建議將數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)目的之一是欣賞數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)形態(tài)的冰冷的美麗，為了達(dá)成這個目的，筆者給出了如下兩點(diǎn)建議.一是需要教師設(shè)計好的問題情境，努力讓學(xué)生盡可能像數(shù)學(xué)家一樣經(jīng)歷概念、定理、公式等發(fā)生、發(fā)現(xiàn)的過程.但有些概念、定理、公式是經(jīng)過幾十年甚至上百年時間的錘煉而成，就不可能在課堂上重新經(jīng)歷這個過程，但要盡可能設(shè)計一些活動體會其中的核心過程，以了解這些概念、定理、公式產(chǎn)生背景及來龍去脈.曹廣福教授提出了“數(shù)學(xué)教育是數(shù)學(xué)的有限再創(chuàng)造”的觀點(diǎn)，突出了“有限”，也正是這個道理. 可喜的是，華東師大汪曉勤教授領(lǐng)導(dǎo)的HPM(即數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育)研究團(tuán)隊，取得了豐碩成果，如文[8]及很多文獻(xiàn)，這些素材值得廣大一線數(shù)學(xué)教師借鑒.二是需要訓(xùn)練學(xué)生適度的形式化的表述能力，但要把握好“度”，形式化的要求需充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平.例如，“導(dǎo)數(shù)”內(nèi)容原先是數(shù)學(xué)分析中的內(nèi)容，現(xiàn)在已經(jīng)下放到高中數(shù)學(xué).而數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)形式化定義是建立在函數(shù)極限的概念基礎(chǔ)上的，對高中學(xué)生來講，函數(shù)極限的概念形式化程度高，難以理解.因此，我們用“趨于”這種形象的說法代替形式化的表述，只要能通過文字的、圖形的形式的描述幫助學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)就可以了，不必要在較高的“形式化”上糾纏.數(shù)學(xué)的真善美能展示數(shù)學(xué)無窮的魅力.引導(dǎo)學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)的真善美這一任務(wù)依然任重而道遠(yuǎn).祝愿廣大的數(shù)學(xué)教育工作者，在張先生的數(shù)學(xué)教育思想的指引下，通過自身努力積極探索實(shí)踐，開發(fā)欣賞數(shù)學(xué)真善美的沃土！[1] 張奠宙，柴俊.欣賞數(shù)學(xué)的真善美[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬)，2010(1-2)：3-7.[2] 張奠宙，丁傳松，柴俊等.情真意切話數(shù)學(xué)(第2版)[M].北京：科學(xué)出版社，2011：60.[3] 樊亞東.把數(shù)學(xué)教得簡單容易一點(diǎn)[J] .中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，1999(3)：4-6.[4] 張奠宙，木振武. 數(shù)學(xué)美與課堂教學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001(4)：1-3.[5] 章士藻，段志貴.數(shù)學(xué)方法論簡明教程(第3版)[M].南京：南京大學(xué)出版社，2013.[6] 張奠宙.關(guān)于數(shù)學(xué)知識的教育形態(tài)[J].數(shù)學(xué)通報，2001(4)：1-2.[7] 張奠宙，王振輝.關(guān)于數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)和教育形態(tài)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002(2)：1-4.[8] 汪曉勤. HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M] .北京：科學(xué)出版社，2017.
(張奠宙先生著作)
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