 關(guān)于圓錐曲線的系列文章，我在去年寫了11篇，寫了橢圓系列10篇和圓的1篇，其實(shí)還有幾篇與解析幾何有關(guān)的文章沒有編入此系列中。例如（《2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考18題的推廣與研究》 ）此系列文章主要針對(duì)高考學(xué)生，不過對(duì)于解析幾何而言高考和競(jìng)賽之間差距不大。 后來一直有朋友催促再往下寫關(guān)于拋物線的文章，今天有空以2018年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第11題為例再寫一篇，爭(zhēng)取盡快把這個(gè)系列寫完。  2018年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試11題為：  這個(gè)題目是2018年一試的壓軸題，是比較難的一道題目。 拿到這個(gè)問題，我首先畫出一個(gè)草圖，如下圖所示，其中P、O也可能在AB的同側(cè)，不過這只是一個(gè)示意圖，通過最終計(jì)算發(fā)現(xiàn)，P、O在AB的同側(cè)還是異側(cè)對(duì)計(jì)算結(jié)果其實(shí)沒有影響。  已知曲線是拋物線y^2=4x,A,P,B,O都在曲線上，這種與拋物線有關(guān)的問題最常見的基本套路就是設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，并盡可能的少用未知數(shù)。自然的思路是設(shè)坐標(biāo)為A(a^2,2a),B(b^2,2b),P(p^2,2p)。 這樣AB的斜率很容易計(jì)算，為 (2b-2a)/(b^2-a^2)=2/(a+b)。 這個(gè)結(jié)論雖然很簡(jiǎn)單，但是根據(jù)我的經(jīng)驗(yàn)，這應(yīng)該是涉及拋物線弦的問題中最重要而且最常用也是最有用的公式，沒有之一。 對(duì)稱的，同理可得AP,BP斜率為2/(a+p),2/(p+b)。 ABF共線，這是一個(gè)條件，利用AB和FB斜率相等，會(huì)得到一個(gè)關(guān)于a,b的等式。即 2/(a+b)=2b/(b^2-1) 化簡(jiǎn)得到ab=-1. 這是一個(gè)很常見的結(jié)論，大家應(yīng)該都比較熟悉。 下面出現(xiàn)第一個(gè)難點(diǎn)——如何利用APBO共圓這個(gè)條件，共圓的基本性質(zhì)是對(duì)角互補(bǔ)，不難發(fā)現(xiàn)∠AOB不是定值，看來只能硬算。 也就是用∠AOB和∠APB互補(bǔ)算，因?yàn)橛辛烁骶€的斜率，所以夾角可以用兩個(gè)直線的“到角公式”計(jì)算，所謂的“到角公式”，也就是一條直線按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到另一條支線所經(jīng)過的最小夾角的正切值，是老教材中課本中的結(jié)論。新教材簡(jiǎn)化掉了，只講了兩條直線的夾角公式。雖然它相對(duì)不太常見，但是其實(shí)和“夾角公式”幾乎相同，都是兩個(gè)角的差的正切公式，只是到角公式?jīng)]有絕對(duì)值，相對(duì)而言能更準(zhǔn)確的描述一個(gè)角度的大小。（其中a到b的角和b到a的角互補(bǔ)，本質(zhì)上就是平面幾何中的所謂的“有向角”。）我們一般用<AP,BP>表示直線AP到BP的角。從而得到  上式中p=0時(shí)即為tan<AO,BO>,由tan<AP,BP>=tan<AO,BO>，即可得到  由于p≠0,從而得到a+b=-p。 這是一個(gè)漂亮而重要的結(jié)論！ 下面是本題的第二個(gè)也算是最大的難點(diǎn)——如何使用“PF平分∠APB”這個(gè)條件。 最自然的思路還是由兩個(gè)角相等，利用到角公式得到一個(gè)等式，由此等式解出p即可。 顯然PF斜率為2p/(p^2-1),從而得到  上式中a=b時(shí)即為tan<BP,PF>,由tan<AP,PF>=-tan<BP,PF>，約去2，即可得到  下面的第三個(gè)難點(diǎn)在于如何處理這個(gè)等式，基本的思路是消去a,b,得到關(guān)于p的方程。 最自然的思路是直接乘開，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，應(yīng)該也是可以的。 不過感覺稍微有點(diǎn)麻煩，有沒有簡(jiǎn)單點(diǎn)的計(jì)算方法呢？ 我們剛才已經(jīng)得到ab=-1和a+b=-p，都是關(guān)于a,b對(duì)稱的，所以希望等式中出現(xiàn)ab和a+b， 對(duì)這種比例式，一個(gè)常見的處理方式是利用比例的性質(zhì)，即等比定理。具體的說，是  代入上式，約去p即得  這就完成了最終的求解過程。  最后把上述過程整理一下，書寫如下： 解： 設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)為A(a^2,2a),B(b^2,2b),P(p^2,2p)， 則AB的斜率為(2b-2a)/(b^2-a^2)=2/(a+b)， 同理可得PA,PB斜率為2/(a+p),2/(p+b)， FB,FP斜率為2b/(b^2-1),2p/(p^2-1). 由AB和FB斜率相等，得到 2/(a+b)=2b/(b^2-1) 化簡(jiǎn)得到ab=-1. 用<AP,BP>表示直線AP到BP的角。從而得到 上式中p=0時(shí)即為tan<AO,BO>,由tan<AP,BP>=tan<AO,BO>，即可得到 由于p≠0,從而得到a+b=-p。則 參考答案的方法為 參考答案方法也很精妙，基本和我的思路相同。也是分為三個(gè)步驟： 第一步由AFB共線得到一個(gè)等式； 第二步由APOB共圓得到一個(gè)等式； 第三步由PF平分∠APB得到一個(gè)等式； 聯(lián)立解出結(jié)果即可。 不過他的具體計(jì)算方法和我的都不相同。 第一步他是設(shè)出直線方程，和拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到的。這也是圓錐曲線問題的最核心最常見的方法。我的方法比較簡(jiǎn)潔，但是適合拋物線，對(duì)于橢圓和雙曲線一般不好用，除非用參數(shù)方程。 第二步參考答案是用的方法很“神奇”，他先設(shè)出圓的方法，把拋物線方程代入圓中，然后利用韋達(dá)定理得到四個(gè)根之和為0，從而得到一個(gè)等式。這個(gè)方法相對(duì)比較少見，高考中沒有出現(xiàn)過，競(jìng)賽中也比較少見，平時(shí)練習(xí)中很少用到這么精妙的思路。不過這個(gè)思路也并非天外來物，我在前面的文章中也用過（2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考18題的推廣與研究 ）所以在考場(chǎng)上幾乎沒有學(xué)生能在短時(shí)間內(nèi)獨(dú)立想到這種方法。當(dāng)然最終殊途同歸，他得到了的等式和我通過計(jì)算得到的相同。 第三步參考答案是用平面幾何中角平分線分線段成比例定理得到的等式，然后利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，再把前兩步得到的結(jié)果代入，直接乘開分解因式即得。 比較而言，參考答案的方法高屋建瓴、神乎其技，第二步第三步基本是競(jìng)賽的知識(shí)技巧，精妙異常，但是普通的學(xué)高考生幾乎不可能想到。即使知道這些知識(shí)的競(jìng)賽學(xué)生也很難在段時(shí)間內(nèi)想到，看到參考答案，只能自慚形穢、自嘆不如，此方法讓人感覺望而卻步、望塵莫及。 相信考場(chǎng)上很少有學(xué)生能用參考答案的方法得到答案。 比較而言，我的思路雖然比較笨拙，但是相對(duì)自然，而且容易想到，計(jì)算也不算復(fù)雜。對(duì)普通學(xué)生也更容易掌握和理解。我的方法中唯一的難點(diǎn)就是到角公式，相對(duì)而言比較少見一點(diǎn)。不過這個(gè)是不難理解和證明的，而且通過到角公式也體現(xiàn)出對(duì)于圖形中的四點(diǎn)共圓，不管O、P在AB的同側(cè)還是異側(cè)，計(jì)算的公式是相同的，這樣體現(xiàn)了此公式的優(yōu)越性。 一言以蔽之：拋物線問題的最核心方法就是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)得到斜率公式。適當(dāng)使用到角公式計(jì)算夾角即可。 通過上述分析可以發(fā)現(xiàn)，此題雖然是競(jìng)賽中的壓軸題。但是也可以“下放”到高考或者強(qiáng)基計(jì)劃考試中，所謂淡妝濃抹總相宜。 |
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