先秦時期極限思想的萌芽說到微積分思想的萌芽，首先要提到就是極限的思想的萌芽，因為整個微積分都是建立在極限的思想基礎(chǔ)上。 我國在極限的思想上萌芽最早可追溯到公元前7世紀(jì)，老子和莊子哲學(xué)思想和著作中包含了無限可分性和極限思想的理論。  莊子 莊子在其著作《莊子.天下篇》中提出的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”。這句話蘊含著無限可分的思想，也是最早的極限思想的萌芽。 老子在《道德經(jīng)》第四十二章提出：“道生一，一生二，二生三，三生萬物”。這句話蘊含著無限的思想，體現(xiàn)了一種動態(tài)的趨近過程。  老子 公元前4世紀(jì)墨子在其著作《墨經(jīng)》中提出了關(guān)于有窮、無窮，無窮大、無限可分和極限的早期概念。這些概念分散于自然哲學(xué)、數(shù)學(xué)、倫理等學(xué)科的條目中。如：
意思是：所謂“窮”，就是相當(dāng)于用尺子去度量區(qū)域時遇到前面容不下尺子的情況。這時連一尺也容不下了，就叫“有窮”；無論怎么度量總是遇不到這種情況，就叫“無窮”。
《墨經(jīng)》中以上內(nèi)容包含了無窮的思想，也是最樸素的、最典型的極限思想。《墨經(jīng)》這部著作包括光學(xué)、力學(xué)、邏輯學(xué)、幾何學(xué)、工程技術(shù)知識和現(xiàn)代物理學(xué)等內(nèi)容，其中討論的幾何概念可以看作數(shù)學(xué)理論研究在中國的最初嘗試。  墨子 以上是我國古代最樸素的極限思想的萌芽，到了魏晉南北朝時期，極限思想有了更進(jìn)一步的發(fā)展，最具代表性的人物有：劉徽、祖沖之和祖暅。 極限思想的進(jìn)一步發(fā)展劉徽是魏晉時期偉大的數(shù)學(xué)家，也是在中國數(shù)學(xué)史上最偉大數(shù)學(xué)家，他最為杰出的著作是《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，這兩部著作在我國歷史上具有非常重要的地位。 劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“割圓術(shù)”計算圓面積，用"圓內(nèi)接正多邊形的面積"來無限逼近"圓面積"。
 劉徽割圓術(shù) 劉徽的割圓術(shù)與阿基米德的割圓術(shù)思想是一致的，這兩位偉大的天才，盡管他們天各一方、時隔數(shù)百年，但卻有完全相同的方法。  劉徽 古希臘的阿基米德算到了正96邊形，但是劉徽并沒有就此止步，他一直算到3072邊形，雖然他略去了計算過程，但是為我們寫下了下面的結(jié)果：  劉徽利用割圓術(shù)將圓周率的計算精確到小數(shù)點四位，在沒有計算器的年代，這個運算量可想而知，或許劉徽是人類歷史上第一個發(fā)現(xiàn)了我們現(xiàn)在所用的圓周率的近似值。他的極限理論和無窮小方法在當(dāng)時世界是最先進(jìn)的，這種微積分思想直到17世紀(jì)初才在西方國家有了初步的發(fā)展。 劉徽之后，祖沖之和他的兒子暅對劉徽的數(shù)學(xué)思想和方法進(jìn)行了推廣和發(fā)展。祖沖之是我國南北朝時期杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和無學(xué)家，他算出了圓周率數(shù)值的上下限：3.1415926（肭數(shù)）<π<3.1415927（盈數(shù)）。  祖沖之 祖沖之的結(jié)果對于我國乃至世界都是一個超越前人的光輝成就，是圓周率計算的一個飛躍。祖沖之是最早把圓周率推算到小數(shù)點后7位的數(shù)學(xué)家，所以我們把圓周率命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。 祖沖之的兒子祖暅沿用了劉徽的思想，利用"牟合方蓋"的理論去進(jìn)行體積計算，得出"冪勢相同，則積不容異"的結(jié)論。"勢"即是高，"冪"是面積。
 用祖暅原理計算球的體積 祖暅原理包含了求積的無限小方法，這種方法是積分學(xué)的重要思想，也是我們今天高等數(shù)學(xué)課本上提到的“微元法”的思想。這一原理”在西方國家被稱為“卡瓦列里原理”，是由意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的，但是卡瓦列里發(fā)現(xiàn)這一結(jié)果比祖沖之父子晚了一千多年。 以上宋朝之前我國古代數(shù)學(xué)積分思想的萌芽，下面來看一下宋朝的數(shù)學(xué)家在微積分方面的貢獻(xiàn)。宋代數(shù)學(xué)是我國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的巔峰，涌現(xiàn)出了許多著名的數(shù)學(xué)家，如北宋的沈括和賈憲以及南宋的楊輝和秦九昭等人。 沈括是北宋政治家、科學(xué)家，他的代表作《夢溪筆談》集前代科學(xué)成就之大成，在世界文化史上有著重要的地位，被稱為“中國科學(xué)史上的里程碑”。他創(chuàng)立的“隙積術(shù)”，“會圓術(shù)”，“棋局都數(shù)術(shù)”等數(shù)學(xué)方法就可以體現(xiàn)到當(dāng)時對高階等差級數(shù)求和理論的深入研究。  會圓術(shù) 沈括的“會圓術(shù)”包含了“以直代曲”的微元法的思想，所謂會圓術(shù)是指由弦求弧的方法，其主要思路是局部以直代曲會圓術(shù)示意圖，對圓的弧矢關(guān)系給出一個比較實用的近似公式：  賈憲是我國北宋天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家，他的數(shù)學(xué)成就是創(chuàng)造了賈憲三角和曾乘開方法，賈憲三角比法國的帕斯卡三角早了600年。  增乘開方法是求高次冪的正根法，賈憲提出的方法比傳統(tǒng)的方法更簡單快捷，他的這一方法比歐洲數(shù)學(xué)家霍納的結(jié)論早700多年。 楊輝在其著作《詳解九章算法》一書中給出的"開方做法本源"，即楊輝三角（也就是賈憲三角）這一結(jié)論是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列。 秦九韶在其具有劃時代意義的《數(shù)書九章》中提到了“大衍求一術(shù)”、“正負(fù)開方術(shù)”，所謂“大衍求一術(shù)”（又稱中國剩余定理）是用來求解一次同余組問題，而正負(fù)開方術(shù)是求解任意高次方程的數(shù)值解法，這些都是中世紀(jì)世界數(shù)學(xué)的最高成就。 秦九昭 不可否認(rèn)兩宋時期，是我國經(jīng)濟和社會發(fā)展的巔峰，我們的很多技術(shù)在當(dāng)時世界上處于領(lǐng)先地位，數(shù)學(xué)發(fā)展也達(dá)到了頂峰。但是那個時期的數(shù)學(xué)都是基于解決實際問題，或者說對數(shù)學(xué)的研究并沒有上升的理論層面。雖然我國很早就有了極限思想的萌芽，沈括的“會圓術(shù)”包含了微積分的一些思想，但與微積分的誕生還隔著很遙遠(yuǎn)的距離。 西方微積分思想的傳播西方數(shù)學(xué)知識在中國的傳播始于明朝后期，歐洲的傳教士在傳播宗教的同時還帶來了一些科學(xué)知識。來自意大利的利瑪竇是天主教在中國傳教的最早開拓者之一。明朝萬歷年間，利瑪竇來到中國傳教，他帶來了歐洲數(shù)學(xué)，向中國人推開了一扇面向歐洲和世界的窗戶。 油畫《利瑪竇與徐光啟的文化盟約》 利瑪竇帶來的數(shù)學(xué)知識中包括大名鼎鼎的《幾何原本》，1607年，我國著名數(shù)學(xué)家徐光啟和利瑪竇將《幾何原本》的前6卷的平面幾何部分翻譯成中文，并命名為《幾何原本》，這本書出版后引起了巨大的反響，成為明末從事數(shù)學(xué)工作的人必讀的一部書。 徐光啟和利瑪竇翻譯的《幾何原本》 在雍正之前，洛必達(dá)的《無窮小分析》、歐拉的《無窮分析引論》等數(shù)學(xué)著作已經(jīng)由傳教士帶到了中國，但由于各種原因，這些著作和知識并沒有傳播開來。 微積分在中國最早的傳播人是我國清代的數(shù)學(xué)家李善蘭（1811-1882），他從小就喜歡數(shù)學(xué)，10歲時就偷偷自學(xué)了古代數(shù)學(xué)名著——《九章算術(shù)》，并將全書的426道例題全部解出，這大大增加了他對數(shù)學(xué)的興趣。李善蘭在15歲的時候又迷上了徐光啟和利瑪竇合譯的《幾何原本》，他為后面更為深奧的幾卷沒有譯出感到非常的遺憾，暗下定決心要把后幾章翻譯出來并出版。 左：李善蘭 右：偉烈亞力 后來李善蘭到了墨海書院，他與英國傳教士偉烈亞力合作將《幾何原本》的第七至十三卷譯出來并于1858年正式出版。但偉烈亞力并不滿足于現(xiàn)狀，他希望繼續(xù)出版更多的數(shù)學(xué)知識教材。李善蘭和偉烈亞力先后合譯并出版的著作有：《幾何原本》13卷、《代數(shù)學(xué)》13卷、《代微積拾級》18卷、《談天》18卷；與此同時，他與艾約瑟合譯《重學(xué)》20卷、《圓錐曲線說》3卷；他還與偉烈亞力、傅蘭雅合譯了牛頓的名著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》若干卷。 《代微積拾級》 《代微積拾級》的出版在中國的科學(xué)發(fā)展史上具有里程碑意義，它標(biāo)志著西方近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始在古老的華夏大地上傳播。《代微積拾級》一直都是很多書院和學(xué)堂的數(shù)學(xué)教材，許多國產(chǎn)教材都是以這本書為藍(lán)本的，正是此書將微積分真正的帶入了中國，極大地促進(jìn)了中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。 再寫最后縱觀我國古代數(shù)學(xué)家的各種成就不難發(fā)現(xiàn)：雖然我國很早就有了極限思想的萌芽，雖然我國在宋代達(dá)到了古代數(shù)學(xué)的巔峰，有些結(jié)果比歐洲早了幾百年甚至上千年，但是中國古代對數(shù)學(xué)的研究都是基于解決實際問題的計算問題，未能從具體問題的計算過程中抽象出更一般的概念和方法，很多問題都沒有上升到理論層面，因此，更確切地說我國古代數(shù)學(xué)其實是算術(shù)。所以，盡管我國在早期數(shù)學(xué)方面取得了一些成就，但是就微積分的發(fā)明來說還有很大一段的距離，沒有哪個數(shù)學(xué)家真正接近微積分的大門。 反觀歐洲的那些數(shù)學(xué)家們，在牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分之前，阿基米德、笛卡爾、費馬、巴羅、沃利斯等微積分先驅(qū)，就已經(jīng)從不同的方向逼近了微積分的大門，只不過他們的方法缺乏一般性，從而導(dǎo)致他們都沒有完成對微積分的發(fā)明。這個時需要有人站在更高的高度來統(tǒng)一這些分散的理論，牛頓和萊布尼茨正是在這個時刻出場的，時代的需求和個人的才智，使他們完成了微積分創(chuàng)立中最后一步也是最關(guān)鍵的一步。 |
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