格奧爾格·費迪南德·路德維?！し评铡た低袪?/p>

1845年3月3日－1918年1月6日

康托爾出生于俄國的德國數(shù)學家（波羅的海德國人）。他創(chuàng)立了現(xiàn)代集合論，是實數(shù)系以至整個微積分理論體系的基礎，還提出了勢和良序概念的定義；康托爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關系的重要性，定義了無限且有序的集合，并證明了實數(shù)比自然數(shù)更多?？低袪枌@個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮” 的存在。他定義了基數(shù)和序數(shù)及其算術(shù)?？低袪柡芮宄刈灾杂X他的成果，富有極濃厚的哲學興趣?？低袪柼岢龅某綌?shù)，最初被當時數(shù)學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奧波德·克羅內(nèi)克為首的眾多數(shù)學家長期攻擊?？肆_內(nèi)克反對代數(shù)數(shù)為可數(shù)的，而超越數(shù)為不可數(shù)的證明。

康托爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經(jīng)由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康托爾的理論，是在挑戰(zhàn)神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質(zhì)?？低袪栕?1869年任職于德國哈勒大學直到 1918年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑郁癥一直再發(fā)的病因，被歸咎于當代學界的敵對態(tài)度，盡管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病征。他所受到的嚴厲攻擊，與后來的贊譽相匹配：在 1904年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數(shù)學研究者的最高榮譽。

在康托死后數(shù)十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術(shù)界指責“集合論是假借通過數(shù)學而有害處的方言”的氛圍，他認為那是“可笑”和“錯誤”的“完全無稽之談”。當代數(shù)學家絕大多數(shù)接受康托爾的理論，并認為這是數(shù)學史上一次重要的變革。大衛(wèi)·希爾伯特說：“沒有人能夠把我們從康托爾建立的樂園中趕出去?！保ㄔ牧碜g：我們屏息敬畏地自知在康托所鋪展的天堂里，不會遭逢被驅(qū)逐出境的。）

以下內(nèi)容選自：馮琦《集合論導引》序言

在萊布尼茨看來，恰當?shù)貞梅柋磉_式是一種藝術(shù)，而這樣一種藝術(shù)是代數(shù)的特征和成功的秘訣之一；布爾則認為代數(shù)的威力就在于兩點：

一是用符號表示數(shù)量；

二是那些代數(shù)運算只需要遵守幾個很少的基本規(guī)則。

萊布尼茨企圖尋求表達概念的字符表；布爾則簡單地用字母符號來表達任何一個概念，或者概念之外延。萊布尼茨堅持形式簡潔而準確、表達的結(jié)果可以坐下來“算一算”；布爾則將“算一算”的過程通過幾條很少的“代數(shù)”運算規(guī)則來實現(xiàn)。這就是當今我們所熟悉的布爾代數(shù)，這也正是以我們現(xiàn)在幾乎人手一部的手機為代表的各種計算機硬件邏輯線路設計以及各種計算機軟件程序設計的基礎。

布爾將他少年時代的靈感和多年來的思考集中在1854年出版的《思維規(guī)律》中，這本書的雛形曾于1847年發(fā)表。在這本書里，布爾把亞里士多德的古典形式邏輯轉(zhuǎn)換成了布爾代數(shù)，或者布爾邏輯。布爾顯然相信符號代數(shù)在人類思維發(fā)展進程中所具有的威力，但布爾未必預測到他對邏輯的代數(shù)解釋在極大改變?nèi)祟惿畹默F(xiàn)代計算機中所具有的不可替代的作用。這必須歸功于對萊布尼茨的“算一算”提出數(shù)學解釋的圖靈。

在布爾代數(shù)基礎上，或者在形式邏輯基礎上，真正解決“算一算”理論模型問題的人是英國的圖靈(AlanTuring)。因為，在萊布尼茨那里，什么是“計算”依舊是觀念的計算，就如同小學生的加減乘除四則算術(shù)觀念那樣；在布爾那里，運算雖然是邏輯代數(shù)的，但這些依舊只是具體的從輸入到輸出的計算。

真正對“計算”這個觀念給出圓滿解釋的是圖靈。

圖靈1936年發(fā)表在《倫敦數(shù)學會會刊》上的文章定義了圖靈機這一數(shù)學模型以及以此為基礎的圖靈機計算的數(shù)學概念。經(jīng)過圖靈的工作，觀念的計算變成了概念的計算：所有可計算的都是那些圖靈機可計算的。圖靈所設計的通用圖靈機則是可以以手機為代表的各種計算機內(nèi)置操作系統(tǒng)和編譯系統(tǒng)的最高典范。

如果說布爾的邏輯代數(shù)中運算還可以建立在潛無窮的觀念之上，那么圖靈的通用圖靈機則不得不建立在實無窮的概念之上，這是圖靈建立通用圖靈機和定義圖靈機計算概念的內(nèi)核基礎。毫無疑問，圖靈是在接受了數(shù)學意義上的實在的無窮之后才建立起自己對于計算觀念進行系統(tǒng)的數(shù)學解釋的計算理論的。那么在圖靈之前，關于無窮到底發(fā)生過什么呢?

在古希臘先賢那里，觀念中的無窮只是被簡單地分為實無窮和潛無窮兩類，至于什么為實無窮，什么是潛無窮，并沒有給予過多的關注或者思考。我們的祖先也曾留下“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的斷言，但卻與冪級數(shù)

無緣。

1883年，康托爾發(fā)表了《一般集合論基礎》。幾年之后，康托爾將這期間的幾篇文章整理成一本專著《超限數(shù)理論基礎》，這就標志著一個豐富多彩的無窮集合宇宙被展現(xiàn)在世人面前。整個數(shù)學，也因此即將被放置在一個嶄新的基礎之上?，F(xiàn)代數(shù)學的大門被打開了。

布爾代數(shù)，只能作為集合代數(shù)的一種特殊情形，存在于人類認識的長河之中。實際上，從康托爾開始的集合論為人類提供了不僅僅具有豐富內(nèi)涵的關于無窮的數(shù)學理論，也為人類提供了最精煉的概念語言文字——最初始的不加定義的概念只有一個——集合；最初始的不加定義的二元關系只有一個——屬于。

有關集合的任何復雜的認識都可以系統(tǒng)地在完全確定的基本理論之下歸結(jié)于初始本原集合與集合之間的屬于關系。

在康托爾的分析中，將實數(shù)整體解釋為實數(shù)集合；在實數(shù)集合的基礎上，以實數(shù)子集合序型，尤其是秩序的序型，作為實數(shù)子集合的第一抽象，以實數(shù)子集合的勢作為第二抽象。這樣抽象的結(jié)果便是序數(shù)和基數(shù)這兩個基本概念。

在康托爾的觀念中，無窮集合具有秩序是天經(jīng)地義的事情，就像任何有限集合都自然而然地擁有秩序一樣。在康托爾的概念中，數(shù)的概念從有限飛躍到超限并且成功地證明了實數(shù)的整體比起自然數(shù)的整體具有本質(zhì)上的數(shù)量的差別：自然數(shù)的整體可數(shù)，而實數(shù)的整體不可數(shù)。

在康托爾的理解中，與自然數(shù)集合相對應的基數(shù)是第一個無窮基數(shù)，而與整個實數(shù)集合相對應的基數(shù)則是第一個不可數(shù)的基數(shù)；任何一個實數(shù)的集合的基數(shù)要么是不超過自然數(shù)的基數(shù)，要么是第一個不可數(shù)基數(shù)。這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設。

正是在求解連續(xù)統(tǒng)假設的過程中，康托爾開啟了對可定義實數(shù)子集合的探索比如，他證明了任何完備實數(shù)子集都與整個實數(shù)集合等勢；任何實數(shù)的閉子集都不會是連續(xù)統(tǒng)假設的反例。

正因為他對實數(shù)集合具有某種秩序的堅信，康托爾致力于定義實數(shù)集合的一種秩序來解決他的連續(xù)統(tǒng)問題。

就這樣，當數(shù)的概念從有限領域上升到超限領域時，康托爾不僅建立了序數(shù)和基數(shù)的超限算術(shù)理論，還為后來者展示了兩個具有強大驅(qū)動力或者牽引力的基本問題：

連續(xù)統(tǒng)問題以及可秩序化問題。

連續(xù)統(tǒng)問題問是否存在勢居自然數(shù)集合之勢與整個實數(shù)集合之勢之間的實數(shù)的子集合?

可秩序化問題問實數(shù)集合上是否存在一種秩序，尤其是可定義(可描述)的秩序?

對這兩個問題的求解將是貫穿本書的一條中心線。

這本《導引》的壓臺定理將為實數(shù)集合可秩序化問題提供終結(jié)性答案：

盡管選擇公理保證實數(shù)軸可以被秩序化，但不會有可定義的秩序；

對連續(xù)統(tǒng)問題提供最佳答案：

連續(xù)統(tǒng)假設不會有可定義的反例，但這不是最終答案。

寫這本《導引》的一個基本目的就是期望能有后來者繼續(xù)對這個問題的終極答案施展自己超群出眾的才能。

幾乎就在康托爾開始建立集合論的同時，1879年，德國哲學家弗雷格(Gottlob Frege)出版了邏輯史上自亞里士多德以來劃時代的著作《概念-文字：一種算術(shù)式的純粹思維之形式語言》，這本書為朝著系統(tǒng)地實現(xiàn)萊布尼茨抱負的方向邁出了奠基性的一步；成功地克服了亞里士多德古典形式邏輯所面臨的困難，這包括滿足數(shù)學演繹推理的需要和解決多重廣延性表述難題；打開了數(shù)理邏輯時代的大門；同時也提出了一個嶄新的問題：數(shù)學基礎問題。

自1879年弗雷格出版《概念-文字：一種算術(shù)式的純粹思維之形式語言》和1883年康托爾出版《一般集合論基礎》開始，人們對于數(shù)學基礎問題探討的熱情高漲起來。

1889年意大利數(shù)學家佩亞諾(《Giusepe peano)《)出了《算術(shù)原理一一用一種新方法展現(xiàn)》，開數(shù)學基礎研究之先河，在這本書中，佩亞諾明確地給出了關于自然數(shù)理論的公理，尤其是關于數(shù)學歸納法的公理，并且嚴格地將邏輯符號和算術(shù)符號區(qū)分開來。這就標志著關于自然數(shù)一階算術(shù)特性的形式表述和內(nèi)涵的最后分離：在自然數(shù)性質(zhì)的討論過程中依賴于直覺的證明從此被完全拋棄。

弗雷格運用自己的形式語言邏輯系統(tǒng)來探討二階算術(shù)基礎，1893年他出版了《算術(shù)基本律》第一卷。

1898年冬季學期在哥廷根大學執(zhí)教的希爾伯特(David Hilbert)給學生開了一門“歐幾里得幾何元素”的課程。1899年，希爾伯特出版了這門課的講義：《幾何基礎》。希爾伯特在歐幾里得幾何理論的基礎上提出了新的幾何公理系統(tǒng)。

希爾伯特強調(diào)這個幾何公理體系之中，“點”“線”“面”完全可以被替換成“桌子”“椅子”“杯子”，只要這些對象遵守那些明列出來的公理。在這里，希爾伯特提煉出了探討數(shù)學基礎的“公理化方法”：形式和內(nèi)涵的分離、對立與統(tǒng)一。希爾伯特證明了這個新的幾何公理系統(tǒng)相對于(二階)算術(shù)系統(tǒng)的無矛盾性：只要(二階)算術(shù)系統(tǒng)是無矛盾的，那么幾何便不會有矛盾。

盡管康托爾關于實數(shù)集合是否可秩序化的問題已經(jīng)由策梅洛提出的選擇公理所解決(詳情見第一卷第2章)，但是連續(xù)統(tǒng)問題依舊還是一個懸而未決的基本問題。哥德爾于1938年以構(gòu)造內(nèi)模型的方式證明了連續(xù)統(tǒng)假設以及選擇公理相對于基本集合公理系統(tǒng)ZF(詳情見第一卷第1章)的相對相容性：如果基本集合公理系統(tǒng)ZF沒有矛盾，那么這個基本集合論公理系統(tǒng)加上連續(xù)統(tǒng)假設以及選擇公理也不會有矛盾，并且在哥德爾的內(nèi)模型L中，實數(shù)集合上有一個具有最佳定義的秩序。因此，在哥德爾的L中，康托爾的兩個問題一一實數(shù)集合秩序化問題與連續(xù)統(tǒng)問題一一都有最好的肯定答案。哥德爾的內(nèi)模型L將在本《導引》第二卷第章中專門討論。

大約25年后，科恩(Paul Cohen)以力迫構(gòu)思泛型擴張的方式(詳情見本《導引》第二卷第2章)證明了連續(xù)統(tǒng)假設之否定與集合論公理系統(tǒng)ZFC的相對相容性以及“實數(shù)集合上不存在任何秩序”這一否定選擇公理的命題與集合論基本公理體系ZF的相對相容性。

于是，康托爾的兩個問題實數(shù)集合秩序化問題與連續(xù)統(tǒng)問題都與集合論基本公理體系相對獨立：ZF既不能給出肯定的答案，也不能給出否定的答案。

康托爾在試圖求解連續(xù)統(tǒng)問題時采取了一條對實數(shù)集合可定義子集展開系統(tǒng)分析的路線。這一路線在20世紀30年代被蘇聯(lián)和波蘭數(shù)學家們繼續(xù)采用，并且形成了描述集合論分支。描述集合論專門研究實數(shù)集合的可定義性(這種可定義性問題也是本《導引》貫穿全書的一個牽引問題)。

康托爾曾試圖以對可定義的不可數(shù)的實數(shù)子集尋找一個完備子集的方式來證明可定義子集不會是連續(xù)統(tǒng)假設的反例“要么可數(shù)，要么包含一個完備子集”，這樣一種二分原理作為一種實數(shù)子集的正則性被稱為“完備子集特性”。

實數(shù)子集合的另外一個正則性是勒貝格可測性。勒貝格(Henri Lebesgue)1902年在他的學位論文中引進了勒貝格測度，從而實數(shù)子集的可測性便被視為一種正則性。

實數(shù)子集合的第三種古典正則性則是貝爾(Rene Baire)早在1899年所引進的貝爾特性：一個實數(shù)子集合具有貝爾特性指的是它與某個開子集的對稱差是一個稀疏集合(詳情見第一卷第3章)。出于對實數(shù)子集的可定義性的探索，博雷爾(Emile。Borel)以代數(shù)的方式引進了實數(shù)軸上包含全體開子集、對于集合取補運算封閉、對于可數(shù)并以及可數(shù)交封閉的最小代數(shù)其中的元素便被稱為博雷爾集合。

博雷爾集合就具有完備子集特性，都是勒貝格可測的；也都具有貝爾特性。勒貝格于1905年發(fā)表的文章對博雷爾集合進行了嚴格分層，用康托爾的對角線方法證明了這種分層是真實分層，并且存在不是博雷爾集合的但是可定義的實數(shù)子集合。令描述集合論真正得到激勵的是蘇斯林(MikhailSuslin)發(fā)現(xiàn)了勒貝格證明中存在一個看走眼的地方。透過對勒貝格看走眼的地方的詳細分析，蘇斯林引進了解析集的概念，并且證明了一個實數(shù)集合是一個博雷爾集合的充分必要條件是：不僅它是一個解析集合并且它的補集也是一個解析集合(詳細內(nèi)容見第一卷第3章)。在蘇斯林發(fā)現(xiàn)的基礎上，盧津(Nikolai Luzin)和謝爾品斯基(Waclaw Sierpiniski)建立起實數(shù)子集的投影集層次，并且以樹來表示實數(shù)子集，這也為有秩關系進入數(shù)學實踐開啟了先河。

經(jīng)過他們的工作，我們知道每一個解析集都具有完備子集特性(Suslin)，從而不會是連續(xù)統(tǒng)假設的反例；都是勒貝格可測的(Luzin)都具有貝爾特性(Luzin-Sierpinski)后面我們會看到，蘇聯(lián)和波蘭描述集合論古典學派在對實數(shù)子集正則性分析中，在ZFC基礎上，已經(jīng)達到思維成就的頂峰，這從哥德爾可構(gòu)造論域中關于實數(shù)集合上的可定義秩序就可以看出。當然，這些都是后話。之所以如此，就在于ZF或者ZFC所能提供的資源能夠被利用的全都被利用了。因此，要想將對實數(shù)正則性的分析推向更高層次的投影集合上去，就必須增加集合論論域的資源。

依舊對增加集合論論域的資源留有空間的是無窮公理。在基本集合論公理系統(tǒng)中，無窮公理本質(zhì)上只是斷言自然數(shù)集合存在。因此在此基礎上不斷引進更強的無窮公理便成為一種有效的追求。

基于與徹底有限集合的論域(見第一卷第1章)的相似性，謝爾品斯基和塔爾斯基以及策梅洛引進了(強)不可達基數(shù)存在的公理。借助于第一個不可數(shù)基數(shù)在哥德爾論域L中的不可達特性，數(shù)學家們終于意識到解析集的補集是否具備完備集特性是一個地地道道的大基數(shù)是否存在的問題(所有這些都會在第三卷第3章中展開討論，這里就簡要地介紹一下)。

基于實數(shù)集合上的勒貝格測度以及不可測實數(shù)集合的存在性這樣的事實，以及對一般測度問題的完美解答的追求，烏拉姆(Stainslaw Ulam)引進了可測基數(shù)存在的公理。事實上，可測基數(shù)的概念仍然可以看成自然數(shù)集合之基數(shù)概念的相似推廣。每一個可測基數(shù)都是不可達基數(shù)，且在一個可測基數(shù)之下存在許許多多不可達基數(shù)，可測基數(shù)的存在的確為數(shù)學家提供了豐富的新資源(詳情見第三卷第3章)。恰恰由于它所提供的豐富資源，可測基數(shù)的存在表明集合論論域在本質(zhì)上完全不同于哥德爾可構(gòu)造論域L。第一個指明這種實質(zhì)差別的是斯卡特(Dana Scott)。

基于第一個無窮基數(shù)的組合特性，艾爾鐸希(PaulErdos)和塔爾斯基引進了弱緊基數(shù)(見第一卷第2章)。

基于第一個無窮基數(shù)的緊致性，凱斯樂(H.Jerome Keisler)和塔爾斯基引進了強緊基數(shù)(見第三卷第1章)。不僅如此，在這篇文章中，兩位作者利用可測基數(shù)上的可數(shù)完全超濾子，構(gòu)造了集合論論域的超冪，以證明最小的可測基數(shù)嚴格大于最小的不可達基數(shù)。斯卡特也正是應用這種超積方法(由可測基數(shù)上的正規(guī)超濾子所確定的超冪)證明了如果存在一個可測基數(shù)，那么集合論論域一定不同于哥德爾可構(gòu)造論域L。

因為存在著從集合論論域到由可測基數(shù)上的正規(guī)超濾子所確定的集合論論域的超冪的典型同質(zhì)嵌入映射，所以人們很快將關注大基數(shù)的眼光轉(zhuǎn)移到了具有不同特點的同質(zhì)嵌入映射之上。正是基于對嵌入映射的目標模型所持有的封閉特點的考量，索洛維(Robert M.Solovay)等引進了超緊基數(shù)，這一切都顯得十分自然。

第二大目標則是建立集合論論域的具有典范作用的內(nèi)模型，這是哥德爾為解決連續(xù)統(tǒng)假設的合理性而開創(chuàng)的一個研究領域所謂內(nèi)模型，就是在集合論的論域之內(nèi)尋求既包括所關注的對象又對于各種集合運算封閉的最小的傳遞類，從而得到所關注對象的某種特性的合理性證明。

第三大目標是建立集合論論域的具有典范意義的外模型，這是科恩為解決連續(xù)統(tǒng)假設的獨立性而開創(chuàng)的一個研究領域。所謂外模型，就是在集合論論域之內(nèi)定義一個具有特別組合特點的偏序集合，并以此為基礎，系統(tǒng)地將集合論的論域向外擴張，得到一個擴張模型，從而得到所關注對象的某種特性的合理性證明由于集合論本身的一種基本特點：不依賴任何外部因素，完全獨立地發(fā)展自身體系這種向外擴張必須以內(nèi)部完全可控的方式來實現(xiàn)，這便是科恩所創(chuàng)立的力迫論這三大目標的基本實現(xiàn)也就分別構(gòu)成了第二卷三章的內(nèi)容。

第三卷是對集合論保證無窮集合存在的無窮公理的層次分析。這種分析既包含組合分析，也包含邏輯分析；既包含內(nèi)模型分析，也包含外模型分析；歸根結(jié)底是揭示各種高階無窮公理對于整個集合論論域的影響，尤其是對實數(shù)集合的影響因此第三卷的第1章側(cè)重于大基數(shù)的組合分析、邏輯分析以及內(nèi)模型構(gòu)造；第2章側(cè)重于在大基數(shù)上構(gòu)造各種各樣的具有典范意義的力迫擴張，從而解決包括奇異基數(shù)假設在內(nèi)的一些長期遺留問題的獨立性問題；第3章側(cè)重于分析高階無窮對實數(shù)子集合正則性的影響。如果說不同的無窮公理從不同層次上在集合論論域中提供了不同豐富程度的資源，那么剩下的便是在集合論論域中探索的人們?nèi)绾螌⒆约旱母叨酥腔郯l(fā)揮到極致來發(fā)現(xiàn)、挖掘和利用這些豐富資源的事情。就如同一部龐大的歌劇必定有全劇高潮那樣，這本《導引》的最后一章也就是截止于1990年左右的集合論這一人類智慧結(jié)晶的最優(yōu)美的展現(xiàn)。

這本《導引》涵蓋從1874年起將近145年的集合論發(fā)展主線上的具有引領作用的內(nèi)容。本書通篇將以問題為牽引，以概念為基礎，以例子為藍本，來展開分析，力求清楚地展現(xiàn)核心思想和方法及其作用的精髓，努力實現(xiàn)逐步鋪墊、循序漸進、化解難度。在作者心中，集合論既是純粹的數(shù)學也是精美的哲學，就如同五線譜與音樂，它以完全抽象展現(xiàn)具體，又以十分具體實現(xiàn)純粹抽象。本書力圖為讀者展現(xiàn)一幅高端智慧探索無窮的完美圖畫。為此，書將力圖清晰地勾勒集合論的內(nèi)在思想結(jié)構(gòu)，包括自然性和典型演繹發(fā)展路徑。作者的悟性有限，集合論宇宙風光無限，作者也因此期待具有更高悟性的讀者能夠?qū)⒆髡咴诒緯姓宫F(xiàn)的粗糙和短缺完善，使其更加精致和完美，這便是“導引”一詞的本來含義。課題的選擇往往是困難的許多更是難以取舍，但是受篇幅限制，就不得不忍痛割愛。最大的缺憾自然是沒有能夠?qū)?nèi)模型的精細分析理論、可測基數(shù)之下的內(nèi)核模型、武丁基數(shù)之下的內(nèi)核模型以及武丁的Pmax-模型等內(nèi)容放到這本《導引》之中。這是無可奈何的事情，因為這些優(yōu)美的內(nèi)容足以各自另成一本厚厚的專門著作。同樣由于篇幅所限，我們常常不去關注一些定理的最佳形式，除非它們的最佳形式無論是表述還是證明都不會增加額外的復雜性。正如我們不得不舍棄幾大專題那樣，我們也忽略了許多優(yōu)美的大基數(shù)概念和定理，因為《導引》畢竟不會是“百科全書”對于希望了解更為綜合性集合論內(nèi)容的讀者，我們推薦耶赫(Thomas Jech)的《集合論》(2003年版本)，這也是這本《導引》通篇所用的主要參考書。

作者曾以這本書的第一卷中的大部分內(nèi)容為教材分別在新加坡國立大學、清華大學和中國科學院大學為高年級本科生講授集合論課程；也曾以第二卷和第三卷的前兩章中的主要內(nèi)容為教材在新加坡國立大學和中國科學院數(shù)學與系統(tǒng)科學研究院給集合論專業(yè)的研究生講授集合論課程。因此，作者真誠希望這本《導引》能夠啟發(fā)和引導未來的能夠被集合論所吸引的讀者進入這個浩瀚的領域。