量子力學(xué)無處不在，從地球上的最小角落到太陽的核聚變，這一基本的物理學(xué)理論在我們理解宇宙的發(fā)展過程中起到了非常重要的作用。量子力學(xué)中交織著許多了不起的定理，但其皇冠上的明珠無疑是薛定諤方程。雖然它乍一看很復(fù)雜，但我們將在本文中解析它，它實(shí)際上是相當(dāng)簡單的，每個人都可以理解。量子力學(xué)量子力學(xué)的主要目的是在原子和亞原子粒子的尺度上對物體的物理特性提供準(zhǔn)確的描述。在其發(fā)展之前，每個人都期望這種尺度的粒子的行為能用經(jīng)典力學(xué)解釋。然而，令所有人驚訝的是，不僅不是這樣，量子世界遠(yuǎn)比我們想象的要奇怪。事實(shí)證明，亞原子粒子的領(lǐng)域在本質(zhì)上是非確定性的。這意味著，我們永遠(yuǎn)無法確定一個亞原子粒子的位置，或任何其他物理屬性。亞原子世界是由概率決定的。這在當(dāng)時是一個很大的啟示。我們的宇宙在基本層面上不是確定的，這一事實(shí)不僅在物理學(xué)上，而且在哲學(xué)上都引起了爭論的爆發(fā)。波函數(shù)薛定諤方程是由埃爾文-薛定諤在1926年提出的，內(nèi)容如下：一些熟悉高等數(shù)學(xué)的人可能會認(rèn)出上面的一些或全部符號。上述方程中表達(dá)的內(nèi)容有很多，但有一點(diǎn)很突出，就是希臘字母Ψ。這就是通常用來表示波函數(shù)的符號。但什么是波函數(shù)？所有物理學(xué)中最為重大的發(fā)現(xiàn)之一是波粒二象性，它表明，所有的物質(zhì)都有波的性質(zhì)和粒子的性質(zhì)。這并不意味著一個粒子，也是一個波。然而，在某些情況下，其行為最好用通常用于描述波的函數(shù)來描述。亞原子粒子具有一些波的特征。但波函數(shù)究竟描述了什么？這是有趣的部分，也是量子力學(xué)起初難以理解的原因。馬克斯·玻恩在1926年提出了這個關(guān)鍵的假設(shè)。在某一點(diǎn)找到一個粒子的概率密度，在測量時，與該點(diǎn)的粒子波函數(shù)的大小的平方成正比。 在薛定諤方程中出現(xiàn)的波函數(shù)，在本質(zhì)上是一個復(fù)數(shù)函數(shù)，以時間t和三個空間坐標(biāo)x、y、z作為其參數(shù)。復(fù)函數(shù)是說它在給定輸入值時能產(chǎn)生復(fù)數(shù)的函數(shù)。因此，作為一個復(fù)函數(shù)，一開始確實(shí)很難想出一個適用于現(xiàn)實(shí)世界的解釋。我們知道它不能描述粒子的位置或加速度，例如，因?yàn)槿绻枋隽?，它就會是一個實(shí)數(shù)函數(shù)。但后來，馬克斯-博恩提出了一個想法：也許波函數(shù)與概率有關(guān)。但概率是實(shí)數(shù)，因此，他認(rèn)為我們可以取其幅度的平方（每個復(fù)數(shù)和函數(shù)都有一個振幅）來獲得一個實(shí)值，而不是直接將其值與概率聯(lián)系起來。玻恩是正確的。- 一個具有動量p和能量E的粒子的波函數(shù)或德布羅意波
讓我們回顧一下到目前為止我們所說的內(nèi)容。亞原子粒子的行為與經(jīng)典物體不同。它們既擁有類似波的特性，也擁有類似粒子的特性。此外，描述這種大小的粒子的方程在本質(zhì)上是概率性的。薛定諤方程中的波函數(shù)是一個函數(shù)，其在空間和時間的某一點(diǎn)的值與粒子當(dāng)時在那里的概率有關(guān)。它是如何相關(guān)的呢？它的大小的平方是概率密度（也就是每單位體積的概率），我們在空間的某個位置找到粒子的概率。所以這就是波函數(shù)所表達(dá)的。上過概率課程的人可以預(yù)見到它的一些特性。首先，我們對歸一化的波函數(shù)感興趣。- 波函數(shù)的歸一化 。為了簡單起見，這是一個一維（x維）的波函數(shù)
如果我們想一想，這是很直觀的。由于波函數(shù)大小的平方（等于我們在積分里面看到的波函數(shù)與其共軛物的乘積）給出了概率密度，那么我們要求總的概率是1。我們已經(jīng)“破譯”了波函數(shù)背后的奧秘?，F(xiàn)在讓我們深入研究薛定諤方程。薛定諤方程記住我們到目前為止所說的一切，薛定諤方程描述了概率波的形式，它們是如何隨時間演變的，以及它們在外部影響下的行為。讓我們把它一點(diǎn)一點(diǎn)地分解。從左手邊開始，我們首先遇到的兩個符號是 "i"（虛數(shù)單位）和 "h"（普朗克常數(shù)）。盡管這些數(shù)字（符號）本身非常重要，但它們對于理解薛定諤方程并不重要，因此，我們在本文中不會涉及它們。我們遇到的下一個表達(dá)是波函數(shù)的時間導(dǎo)數(shù)。時間導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上是告訴我們某些東西相對于時間的變化速度。在這種情況下，是波函數(shù)的變化有多快。H上面加個“帽子”被稱為哈密爾頓算子。對于那些不熟悉這個概念的人來說，簡單地說，算子是一個函數(shù)，它的輸入不是一個數(shù)字，而是另一個函數(shù)本身！它們將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換成另一個函數(shù)。例如，我們可以將運(yùn)算符A定義為任意給定函數(shù)f = f(x)并將其乘以x的算子：它一開始看起來很嚇人，但它實(shí)際上是相當(dāng)簡單的。通過代入算子來寫薛定諤方程，我們可以得到：你要理解的不是數(shù)學(xué)符號，而是哈密爾頓算子的本質(zhì)。哈密頓算子與我們系統(tǒng)中的動能和勢能有關(guān)。 勢能部分應(yīng)該很清楚。上述總和中的第二項(xiàng)實(shí)際上是V(x,t)，它是施加在系統(tǒng)上的外部勢能。不明顯的是動能。事實(shí)證明，和中的第一項(xiàng)本身就是量子力學(xué)中的一個算子，它與特定狀態(tài)的動能有關(guān)。這里有很多細(xì)微的差別，但這并不重要。你所要記住的是，哈密爾頓算子與系統(tǒng)的總能量有關(guān)。重要的事再說兩遍：哈密爾頓算子與系統(tǒng)的總能量有關(guān)。哈密爾頓算子與系統(tǒng)的總能量有關(guān)！薛定諤方程告訴我們，波函數(shù)或量子態(tài)正在隨著時間的變化而變化。它的變化方式取決于系統(tǒng)的總能量（勢能+動能）。結(jié)論薛定諤方程是所有物理學(xué)中最著名的方程之一。它使我們能夠?qū)Ω鞣N量子系統(tǒng)以及它們?nèi)绾坞S時間演變做出準(zhǔn)確的預(yù)測。然而，它的應(yīng)用也有一些限制。事實(shí)證明，對于包含眾多粒子的系統(tǒng)來說，即使是用最強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)，要解薛定諤方程也是非常困難的。很多專家希望，當(dāng)我們發(fā)明了量子計(jì)算機(jī)后，這一限制將被解除，但就目前而言，這一優(yōu)雅的方程并不適合描述大規(guī)模的量子系統(tǒng)。
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