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史蒂夫·斯托加茨《微積分的力量》告訴我們的四件事： 1.微積分是什么 微積分由微分和積分兩部分組成。 微分和金字塔原理相似，都是把一個(gè)事物拆分成更小的子元素，區(qū)別在于微分是細(xì)到無窮小。 事物經(jīng)無限細(xì)分后，能夠高度簡化分析過程，可以極大降低我們走出第一步的難度。 微分后還有一個(gè)積分的過程，即，要把無窮多的“微分”聚集起來進(jìn)行統(tǒng)合分析。這個(gè)過程往往比微分更加困難。 2.微積分思想的誕生 古希臘阿基米德計(jì)算圓形面積時(shí)，就已經(jīng)用上了微積分思想。 當(dāng)時(shí)的人只掌握了計(jì)算直線圖形的方法，對(duì)曲線的計(jì)算無能為力。 阿基米德運(yùn)用微積分的思想，把圓切分成無窮多個(gè)扇形，拼成兩條緊密貼合的鋸齒鏈，就像咬合的上下兩排鱷魚牙齒一樣，便得到了一個(gè)近似長方形的圖形。 這個(gè)近似長方形的“長”為圓周長的一半，“寬”為圓的半徑，且其“長”和“寬”總是有一個(gè)固定比值，這就是圓周率。 能準(zhǔn)確得出圓周率，就能準(zhǔn)確得出圓的面積。 阿基米德繼續(xù)用微積分的思想，對(duì)圓分別內(nèi)接、外接正九十六邊形，經(jīng)過復(fù)雜推算后，把圓周率鎖定在了一個(gè)極小的范圍。 3.研究透曲線，才能研究透運(yùn)動(dòng) 對(duì)曲線的研究，是人們探索、掌握真實(shí)世界里運(yùn)動(dòng)過程的基礎(chǔ)。 17世紀(jì)，代數(shù)和平面直角坐標(biāo)系誕生，使得數(shù)學(xué)方程可以轉(zhuǎn)化為圖形。 牛頓和萊布尼茨結(jié)合代數(shù)和坐標(biāo)系形成了一套計(jì)算系統(tǒng)，把運(yùn)動(dòng)和曲線聯(lián)系起來，微積分正式誕生。 真實(shí)世界的運(yùn)動(dòng)很難既直線又勻速，研究曲線的成果發(fā)揮了巨大作用。 比如，對(duì)于一個(gè)非勻速的直線運(yùn)動(dòng)，建立“時(shí)間-速度”坐標(biāo)系方程式，求運(yùn)動(dòng)距離等同于求函數(shù)圖形面積，求速度等同于求一個(gè)“坡”的切線斜率。 對(duì)于更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，我們可以把物體的運(yùn)動(dòng)過程切分成無數(shù)個(gè)“瞬間”。 物體在每個(gè)不同瞬間都有不同變量，比如速度、方向等，不同變量分別使用不同積分方程，就能進(jìn)行計(jì)算。 4.微積分的運(yùn)用 微積分運(yùn)用無窮，可以解釋炮彈和行星飛行軌跡，可以掌握艾滋病患者體內(nèi)病毒濃度變化進(jìn)而確定治療方針，可以測算飛機(jī)和宇宙飛船在飛行途中的承受能力。 從根本上來說，微積分是一種理解世界的思維方式： 一方面無限拆分現(xiàn)實(shí)事物的過程或構(gòu)成，一方面把現(xiàn)實(shí)事物的影響因素轉(zhuǎn)化為微積分方程里的系數(shù)、代數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。 或許在懂得運(yùn)用微積分的人眼里，一切皆可拆解，一切皆可運(yùn)算。  |
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