【原】【第779期】高一 | 函數(shù)的值域

加倍數(shù)學(xué) 2021-10-06

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滴水穿石，不是因?yàn)榱α浚窃谟趫?jiān)持！

函數(shù)的值域

值域是函數(shù)的三要素之一，由于定義域和對(duì)應(yīng)法則確定以后，值域也就隨之確定，因此關(guān)于函數(shù)值域的問(wèn)題更多的是集中在求給定函數(shù)的值域問(wèn)題.函數(shù)千變?nèi)f化，值域問(wèn)題也多種多樣，這里將常見(jiàn)值域的求法進(jìn)行歸納整理.

一、觀察法

有的函數(shù)結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過(guò)對(duì)函數(shù)解析式觀察或變形，利用熟知的函數(shù)的值域可求出所給函數(shù)值域.

二、配方法

對(duì)二次函數(shù)型的解析式，應(yīng)先進(jìn)行配方，并特別注意自變量的取值范圍，利用二次函數(shù)值域的方法求函數(shù)的值域.

三、圖像法

先做出函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，利用數(shù)形結(jié)合的方法求得函數(shù)的值域，一般求分段函數(shù)的值域常用此法.

四、判別式法

判別式法主要針對(duì)的是二次分式型函數(shù)值域問(wèn)題，當(dāng)分母和分子沒(méi)有公因式時(shí)，將函數(shù)的解析式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量x的一元二次方程，利用一元二次方程有實(shí)根的條件是判別式大于等于零，得到關(guān)于y的不等式，解此不等式即可得到值域.

五、換元法

通過(guò)對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，可將復(fù)雜的函數(shù)化歸為簡(jiǎn)單的函數(shù)，利用簡(jiǎn)單函數(shù)在值域求原函數(shù)的值域.用換元法求函數(shù)值域時(shí)，要注意換元后的變量取值范圍.

六、分離常數(shù)法

分離常數(shù)法經(jīng)常處理的是一次分式型函數(shù)，通過(guò)分離常數(shù)，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化為類變比例函數(shù)模型，借助反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)求得最值.

七、反解法

將所給函數(shù)進(jìn)行變形后利用已知函數(shù)的值域求值域的方法.這里常出現(xiàn)的有根式、平方、分式等，結(jié)合其自身的特點(diǎn)尋找y的不等式，通過(guò)求解找到值域.

八、單調(diào)性法

通過(guò)分析已知函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)值域的方法.一般情況下，都是對(duì)于常見(jiàn)的函數(shù)，性質(zhì)比較熟悉的函數(shù)進(jìn)行分析.

九、分段函數(shù)值域

分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，由于組成這個(gè)函數(shù)的每個(gè)部分解析式不同，因此求值域時(shí)可先求每部分值域（可采用前面方法），然后對(duì)其取并集即可得到整個(gè)函數(shù)的值域.

十、值域逆向問(wèn)題

函數(shù)值域的逆向問(wèn)題，主要是利用已知函數(shù)的值域，求出滿足條件的參數(shù)的范圍（或值）.

函數(shù)值域的求法很多，這里列舉的是一些常見(jiàn)的問(wèn)題和方法.初學(xué)者可以開(kāi)闊視野，但絕不可以僵化，同一道題目可以有多種解法，要靈活運(yùn)用.此外，值得一提的是，隨著高中學(xué)習(xí)的深入，還會(huì)出現(xiàn)新的值域問(wèn)題，如三角函數(shù)中的值域問(wèn)題，基本不等式法求最值，導(dǎo)數(shù)法求最值等等，知識(shí)會(huì)常學(xué)常新，方法須常練常熟.

路雖遠(yuǎn)，行必至！