為了放松自己，你一般周末會(huì)怎么度過？你會(huì)選擇補(bǔ)覺，看電影，和幾個(gè)朋友聚會(huì)還是帶娃？無論是哪種方式，你的爽感都會(huì)隨著量的增加而增加，但是它們增加的程度會(huì)放緩，如果你像我一樣，喜歡看電影，看一部提升的幸福指數(shù)如果是10，連著看第二部帶來的幸福增量可能只是8，第三部的增量可能是6，也就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中常說的"邊際效用遞減"。

也就是每增加一定數(shù)量東西，給你帶來新增收益不是線性增加，而是逐漸遞減的，這是一種典型的非線性現(xiàn)象。在模型思維|線性模型我們分享了線性模型，但現(xiàn)實(shí)世界中很多現(xiàn)象是非線性的，而描述這些非線性現(xiàn)象的模型有很多，本文和你分享其中最常見的兩種：凸函數(shù)模型和凹函數(shù)模型，以及它對我們的啟發(fā)。

1 凸函數(shù)摸型

什么是凸函數(shù)模型？凸函數(shù)的斜率是遞增的，如下圖所示。最典型的就是指數(shù)增長，比如按照下面這個(gè)公式：

可以利用這個(gè)方程推導(dǎo)出“72法則”：

這個(gè)法則告訴我們快速推斷一個(gè)量翻倍所需要的時(shí)間，比如說你的資產(chǎn)年增長率是10%，那么翻一倍需要的時(shí)間大約是7.2年 ；這個(gè)模型還可以用于估計(jì)細(xì)菌的繁殖速率，人類鼻竇中的細(xì)菌，它們以每分鐘4%的速率在繁衍，那就意味著每20分鐘左右的時(shí)間它可以翻一倍，一天的時(shí)間，它可以繁衍出10億的子孫后代。

人口學(xué)家還可以用這個(gè)模型研究人口發(fā)展，最著名的莫過于英國的人口學(xué)家“托馬.斯馬爾薩斯”,他在1798年就用模型指出，人類的繁衍是指數(shù)型的，但是我們糧食生產(chǎn)能力確實(shí)線性的，而這會(huì)導(dǎo)致人類是無法養(yǎng)活自己，這就是所謂的"馬爾薩斯陷阱"。

當(dāng)然，我們現(xiàn)在知道，鼻孔中細(xì)菌數(shù)量不會(huì)無限增多，馬爾薩斯陷阱也沒有發(fā)生，為什么呢？對于前者，因?yàn)楸歉]的空間有限，沒有空間時(shí)，增長就會(huì)停止。

關(guān)于馬爾薩斯陷阱，他還沒有預(yù)計(jì)到兩點(diǎn)：人類的出生率下降了，此外，技術(shù)進(jìn)步帶來糧食增加并不是一個(gè)線性的。

和凸函數(shù)摸型相反，凹函數(shù)摸型的斜率是遞減的，如下面這個(gè)曲線，它的斜率是逐漸變小的，最后甚至可能處于一個(gè)平衡的狀態(tài)。在《模型思考》中介紹了用該模型來分析經(jīng)濟(jì)增長，具有很好的解釋力。

2.1 柯布-道格拉斯模型

關(guān)于經(jīng)濟(jì)增長有兩個(gè)著名的模型，最早期的是柯布-道格拉斯模型，它的公式如下：

這個(gè)模型將經(jīng)濟(jì)增長簡化為和兩個(gè)因素相關(guān)：勞動(dòng)力和資本，α指的是勞動(dòng)力，書中用椰子生產(chǎn)為例，說明了用該模型預(yù)估的增長曲線如下圖所示：

從圖中會(huì)發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)量的增長開始很快，后來逐漸放緩，最后會(huì)慢慢接近于一個(gè)平衡點(diǎn)，這個(gè)平衡點(diǎn)也就是長期增長的均衡點(diǎn)，它通常出現(xiàn)新機(jī)器的投入和折舊之間相等的時(shí)候。

2.2索洛增長模型

但是，這個(gè)模型當(dāng)中沒有考慮技術(shù)的影響，在此基礎(chǔ)上升級(jí)的模型是索洛增長模型，它的公式，這個(gè)模型認(rèn)為技術(shù)水平（A）可以線性的增加產(chǎn)出，而技術(shù)水平和創(chuàng)新相關(guān)，通過產(chǎn)出模型，可以推倒出長期均衡產(chǎn)出點(diǎn)。

其中A是技術(shù)水平，s是儲(chǔ)蓄率，d是折舊率，L是勞動(dòng)力。從這個(gè)模型中，能夠很好的得出以下幾個(gè)結(jié)論：

①長期均衡產(chǎn)出隨勞動(dòng)力和儲(chǔ)蓄的增加而線性增加；

②均衡產(chǎn)出和折舊率之間是凸性的，折舊率降低20%，可以帶來產(chǎn)出25%的增加；

③長期均衡會(huì)隨著技術(shù)水平改進(jìn)而平方增加。

第③條是個(gè)關(guān)鍵，這意味著了創(chuàng)新增加的產(chǎn)出比線性更快。為什么會(huì)是這樣？《模型思考》中給出了兩個(gè)解釋：第1個(gè)是因?yàn)榧夹g(shù)增長會(huì)直接帶來產(chǎn)出的增加，另外，是因?yàn)榧夹g(shù)的增長導(dǎo)致會(huì)有更多的投資增，從而形成了"創(chuàng)新乘數(shù)效應(yīng)"（innovation multiplier）”。

但是，這里必須要強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新所帶來的增長具有一定的滯后性，舉個(gè)例子，比如火車其實(shí)是在19世紀(jì)早期就出現(xiàn)了，但是它所帶來的"鍍金時(shí)代"要過了半個(gè)世紀(jì)之后才出現(xiàn)，阿帕網(wǎng)(互聯(lián)網(wǎng)的前身)出現(xiàn)了整整30年之后，互聯(lián)網(wǎng)才進(jìn)入繁盛時(shí)期。

2.3 中國的增長

通過這樣的一個(gè)模型，其實(shí)還能夠很好的解釋中國的快速增長。在中國發(fā)展的早期，因?yàn)檫€遠(yuǎn)沒進(jìn)入長期產(chǎn)出均衡點(diǎn)，也就是還沒進(jìn)入增速放緩的階段，這個(gè)時(shí)候，無論是投入資本還是投入人力，其實(shí)都能夠使經(jīng)濟(jì)高速增長，但是經(jīng)過一段時(shí)間，增速會(huì)逐漸下降（凹型曲線），現(xiàn)在下降為6%，雖然這個(gè)增長率還會(huì)持續(xù)一段時(shí)間，但如果沒有重大的技術(shù)突破，大概率會(huì)進(jìn)一步逐漸放緩，而從模型中，我們發(fā)現(xiàn)技術(shù)創(chuàng)新是個(gè)重要的提升增長上線的路徑，所以這也是我理解，為什么國家現(xiàn)在非常提倡和鼓勵(lì)創(chuàng)新，因?yàn)橄鄬τ谄渌淖兞?，技術(shù)創(chuàng)新具有乘數(shù)效應(yīng)。

3 凹凸對我們的啟發(fā)

上面介紹的這兩種曲線對我們自己有什么啟發(fā)呢？我理解有三點(diǎn)：

3.1 多元化享樂

因?yàn)榇嬖谶呺H效用遞減，所以在享樂的時(shí)候，我們可以采取多元化配置的方式，比如周末的時(shí)候，可以選擇多種休閑方式，額不是一個(gè)，比如穿插看電影，陪家人，獨(dú)處和約朋友，這樣綜合的效果要比享受單一事物樂趣更多。

4.2 主動(dòng)掌握技能

在稻盛和夫的《干法》中提到一個(gè)通俗的比喻，如果你的工作是做清潔，你不僅要認(rèn)真做好這一次，也要去想怎么更好改進(jìn)方法，比如上一次用拖把，這次可以不用吸塵器。我們做事情的時(shí)候，也是一樣，為了提高產(chǎn)出，一方面我們可以投入更多的時(shí)間，還有一個(gè)重要的方面就是不斷改善自己做事方式。

比如主動(dòng)去掌握新的方法和技巧，我認(rèn)為這里也存在兩層效應(yīng)，一方面通過學(xué)習(xí)掌握新的技能和方法，能讓你更高效做好現(xiàn)在的事情，幫你節(jié)省時(shí)間；另一方面，當(dāng)你主動(dòng)學(xué)習(xí)和掌握技能，也會(huì)提高你掌握技能的能力（也就是元能力），比如大量閱讀，不僅提高你的閱讀量，也會(huì)提高你的閱讀速度。

4.3 保持耐心

技術(shù)水平提高帶來增長會(huì)有滯后效應(yīng)，就像我們現(xiàn)在掌握一些知識(shí)和技能，并不是所有都會(huì)有立桿見影的效果，但是隨著時(shí)間發(fā)酵，它的價(jià)值會(huì)慢慢釋放，我們需要耐心。

總結(jié)

現(xiàn)實(shí)世界畢竟是非線性的，本文介紹的凸函數(shù)和凹函數(shù)是描述非線性最基本的兩個(gè)模型。最典型的凸函數(shù)是指數(shù)增長，我們可以通過72法則估算一個(gè)量增長一倍需要的時(shí)間；

索洛模型，能夠讓我們更加深刻理解，人力，儲(chǔ)蓄和技術(shù)水平，雖然都能影響長期均衡產(chǎn)出，但是他們的效果曲線是不同的，前兩者是線性的，而后者是平方關(guān)系，這也間接說明，為什么國家大力鼓勵(lì)技術(shù)創(chuàng)新；

兩種非線性對我們的啟發(fā)是：多元化享樂，主動(dòng)掌握技能和保持耐心。