拓?fù)鋵W(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，其所包含的數(shù)學(xué)理論非常深刻抽象。筆者本科時(shí)期曾經(jīng)自學(xué)過點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容，在研究生階段又旁聽了拓?fù)鋵W(xué)課程，個(gè)人認(rèn)為這門課是筆者心中覺得比較難的一門數(shù)學(xué)課。

每一個(gè)數(shù)學(xué)系學(xué)生對心中最難的一門課未必盡是相同的，實(shí)際上，筆者曾聽一位代數(shù)學(xué)老師吐槽過：覺得分析學(xué)課程比較難，比如實(shí)變函數(shù)與泛函分析，很難把握住分析的要義。然而，盡管他們在分析類課程上表現(xiàn)得未必是游刃有余，但是在自己的代數(shù)學(xué)領(lǐng)域里則是得心應(yīng)手，仿佛那些代數(shù)結(jié)構(gòu)都是自己的拿手武器。

其實(shí)，代數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)也有緊密的聯(lián)系，如果有讀者學(xué)習(xí)過單純同調(diào)群的內(nèi)容的話，想必知道筆者此言非虛。我們可以比較粗略地認(rèn)為，代數(shù)學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合所得到的產(chǎn)物是所謂的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的內(nèi)容有別于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，其中后者跟分析學(xué)的聯(lián)系極為密切，而前者則顧名思義，其與代數(shù)學(xué)的聯(lián)系不可分割。代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的部分中會(huì)涉及到代數(shù)學(xué)的一些基本概念，比如群、同態(tài)、同構(gòu)等。說起同態(tài)，筆者想起了代數(shù)學(xué)課程中會(huì)提及到同態(tài)基本定理，它的內(nèi)容也是比較深刻的。

圖一：《點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義》

不知出于什么原因，筆者認(rèn)為即便是點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)也是非常抽象的。這種拓?fù)淇臻g似乎像是另一番世界，如果沒有很好地領(lǐng)會(huì)其中的要義往往不得其門而入。筆者向來是一個(gè)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面較為固執(zhí)的人，如果沒有進(jìn)入它的圈子的話，是要“不擇手段”地攻進(jìn)去的。

數(shù)學(xué)書籍《惰者集》的作者小平邦彥先生，曾經(jīng)真誠地分享了自己抄書的經(jīng)歷。事實(shí)上，即便偉大如他，他也曾調(diào)侃過數(shù)學(xué)定義及定理的抽象與晦澀，似乎在他看來，抄書是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。

筆者深受小平邦彥的這一做法影響，也會(huì)在自己覺得比較困難的課程中選擇抄書。但是，抄書并不意味著只是將書本中的定理定義一模一樣、一字不落地臨摹下來，而是要選擇做一定的批注。這種批注其實(shí)體現(xiàn)出來了我們在讀書時(shí)候的某些思考，其內(nèi)容未必是原創(chuàng)的，然而也是自己經(jīng)過思考之后咀嚼得到的。這一過程其實(shí)需要反反復(fù)復(fù)地訓(xùn)練得到，剛開始可能很難順利地進(jìn)行“抄書”。

以筆者所抄寫的Tietze擴(kuò)張定理為例，該定理如是說：

“

如果拓?fù)淇臻g滿足公理，則定義在的閉子集上的連續(xù)函數(shù)可以連續(xù)地?cái)U(kuò)張到上。

”

這里的公理其實(shí)是說:如果現(xiàn)在有兩個(gè)不相交的閉集，那么有不相交的(開)領(lǐng)域。事實(shí)上，這一公理是拓?fù)鋵W(xué)中四大分離公理的其中之一，在整個(gè)拓?fù)鋵W(xué)中具有非常基礎(chǔ)性的作用。

圖2:Tietze擴(kuò)張定理補(bǔ)充內(nèi)容

關(guān)于Tietze擴(kuò)張定理的證明想法，我們一般會(huì)分兩步展開證明。首先，關(guān)注到這一函數(shù)是一般的連續(xù)函數(shù)，因此常用的技巧是考慮特殊的一類函數(shù)——有界連續(xù)函數(shù)，而后用一個(gè)映射將其推廣到更加一般的連續(xù)函數(shù)。明顯地是，這里在考量有界連續(xù)函數(shù)時(shí)，便可以聯(lián)系分析學(xué)中的連續(xù)延拓定理。連續(xù)延拓定理的結(jié)果如下:

“

若是中的閉集,是定義在上的連續(xù)函數(shù)并且，則存上的連續(xù)函數(shù)滿足

”

當(dāng)然，我們字面上理解一下的話，連續(xù)延拓定理實(shí)際上指出了定義在某個(gè)集合上的某個(gè)閉集的有界連續(xù)函數(shù)，可以延拓為定義在該集合上的連續(xù)函數(shù)。稍作對比，不難發(fā)現(xiàn)其與Tietze擴(kuò)張定理具有很相似的關(guān)系。

實(shí)不相瞞，Tietze擴(kuò)張定理是連續(xù)延拓定理的一類推廣。特別需要注意的是，數(shù)學(xué)中常常會(huì)提到兩個(gè)定理之間的關(guān)系，或等價(jià)，或推廣，或其他關(guān)系，諸如此類，有必要引起諸君注意。

談及Tietze擴(kuò)張定理與連續(xù)延拓定理的關(guān)系，我們免不了要去涉及到Urysohn定理。這個(gè)定理實(shí)際上也體現(xiàn)了滿足公理的拓?fù)淇臻g所具有的優(yōu)良品質(zhì)，它是這樣說的:

“

如果拓?fù)淇臻g滿足公理，那么對于中任何兩個(gè)不相交的閉集，我們可以找到一個(gè)定義在上的連續(xù)函數(shù)，使之分別取值為0和1。

”

聽上去，這個(gè)定理通俗易懂，然而證明過程則是紛繁復(fù)雜的。只要有了這一定理，我們就可以得到Tietze擴(kuò)張定理是連續(xù)延拓定理的一類推廣這一顯著事實(shí)。

回過頭來看，抄書其實(shí)也不是一件容易的事情，往往要注意書中多個(gè)定理的聯(lián)系和區(qū)別，更要關(guān)注書中一些腳注的地方，往往蘊(yùn)含著巨大的信息。讀本科時(shí)期看書可以細(xì)致一點(diǎn)，但是在做研究的時(shí)候等到全學(xué)會(huì)了再去做，那估計(jì)就比較晚了。

今天，你抄書了嗎？