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先聲明一下，這篇帖子對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不好或者抽象能力不強(qiáng)的人不友好，建議不要浪費(fèi)時(shí)間。不過希望工程師們看看，也許有啟發(fā)，因?yàn)榉汉治霈F(xiàn)在是高水平工程師混飯吃的標(biāo)配，傅立葉變換，小波分析，最優(yōu)控制，數(shù)學(xué)規(guī)劃，資源最優(yōu)配置，偏微分方程數(shù)值求解，有限元分析，彈性力學(xué)數(shù)值計(jì)算等等等等，基礎(chǔ)都是泛函分析。 這是介紹數(shù)學(xué)思維方式的最后一部分。主要介紹抽象思維的強(qiáng)大。 由于泛函分析是古典數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的橋梁，是古典數(shù)學(xué)分析，代數(shù)和幾何以現(xiàn)代觀念交叉在一起發(fā)展起來的學(xué)科，是數(shù)學(xué)承先啟后的門檻，又有廣泛的應(yīng)用，既是所有優(yōu)化資源配置技術(shù)的基礎(chǔ)，又是所有控制技術(shù)的基礎(chǔ)，更是化繁為簡的利器。 我在實(shí)際工作中體會是幾門數(shù)學(xué)學(xué)科在實(shí)際應(yīng)用上的地位是：微積分就像是鋼絲鉗，粗活細(xì)活都能干，凡是能夠定義連續(xù)因果關(guān)系的問題，用微積分試一下沒錯(cuò)；線性代數(shù)就像是螺絲刀，凡是離散問題，定義線性關(guān)系，就能試圖找一下構(gòu)造基（特征根），把問題分解投影到基上，就能分而治之；數(shù)理統(tǒng)計(jì)就象是扳手，碰到?jīng)]有明顯因果關(guān)系的糊涂亂麻問題，先尋找一下趨勢外推或線性擬合，找一下統(tǒng)計(jì)相關(guān)性；實(shí)在碰到無法下嘴的問題，只能是數(shù)值逼近或數(shù)值模擬了。不過泛函分析是很特殊的工具，類似電鉆，可以把困難問題徹底擊穿，找到本質(zhì)。當(dāng)然數(shù)理方程是工程師的電鋸，有招沒招鋸一下，大卸八塊找原理。作為一個(gè)現(xiàn)代工程師，如果工具箱里沒鋼絲鉗，螺絲刀，扳手，榔頭，電鉆，電鋸，可能心中沒底，覺得自己全身赤裸，裸奔的工程師，沒法見人。其實(shí)現(xiàn)在工程師會不會計(jì)算并不重要，因?yàn)楝F(xiàn)在都有現(xiàn)成的計(jì)算軟件包，關(guān)鍵是在一堆現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題，定義問題關(guān)鍵因素，并對解決問題知道用什么工具。 泛函分析是把代數(shù)（泛函分析有人就稱為無窮維空間線性代數(shù)），分析（泛函就是把函數(shù)當(dāng)成自變量的廣義函數(shù)），幾何（泛函分析的主要對象之一就是函數(shù)組成的賦范空間）整合在一體的學(xué)科，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的門檻，學(xué)過泛函分析，基本就算看到現(xiàn)代數(shù)學(xué)大門了。 泛函分析不管是研究對象，概念，還是得到的結(jié)論，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了人類直覺、經(jīng)驗(yàn)和常識的能力，充分展示了人類抽象能力的強(qiáng)大。 先說說什么是泛函，泛函就是以函數(shù)為自變量的函數(shù)。舉例來講，老鷹在空中追兔子，它鎖定兔子的最佳攻擊路徑是一條基于與兔子位置相關(guān)和時(shí)間相關(guān)的二維曲線，也即一個(gè)函數(shù)，但是兔子還會不斷變化自己逃跑路徑，所以這條攻擊曲線或攻擊函數(shù)在不斷變化，這樣老鷹追兔子行為的數(shù)學(xué)模型就是一個(gè)以函數(shù)為變量的函數(shù)。 這個(gè)帖子的主要參考教材有（從易到難）：《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》下冊，夏道行 吳卓人 嚴(yán)紹宗 舒五昌 ，人民教育出版社；《泛函分析講義》，張恭慶, 林源渠, 郭懋正，北京大學(xué)出版社；《泛函分析》，拉克斯(PeterD.Lax)，人民郵電出版社。 這篇帖子重點(diǎn)介紹泛函分析（Functional Analysis）來源和發(fā)展。 泛函概念是阿達(dá)馬19世紀(jì)末基于變分法中出現(xiàn)的函數(shù)的函數(shù)概念給出的。 早在1696年約翰·伯努利(Johann Bernoulli)提出最速曲線問題時(shí)，人類就涉及了泛函概念。但是當(dāng)時(shí)并未能夠抽象到泛函概念（以函數(shù)為自變量的函數(shù)），而是用傳統(tǒng)函數(shù)思維方式處理，也就是變分法。 歐拉在1733年《變分原理》解決了最速曲線問題。1786拉格朗日提出了變分法一般解決方式，得到了著名的歐拉—拉格朗日方程(后面我們會介紹基于現(xiàn)代泛函分析角度的變分法概要：按照泛函觀點(diǎn)，變分法的本質(zhì)是研究形如J[y]=∫_a^bF(x，y，y’)積分方程的極值，函數(shù) y＝y(tǒng)(x)是在某個(gè)集合Y上變動，例如Y可以是［α，b］上具有連續(xù)導(dǎo)函數(shù)(或再附加一定的約束條件，如y(α)＝0，y(b)＝1等)的函數(shù)的全體。所以J[y]是一個(gè)以函數(shù)y為變量的函數(shù)的函數(shù)，也即一個(gè)泛函。在介紹微積分的帖子中，我們說過，微積分是求解以數(shù) x為自變量的函數(shù)f(x)的極值，變分法是研究以函數(shù)y為自變量的函數(shù)J[y]極值。在變分法中，函數(shù)y 本質(zhì)上被視為點(diǎn)，因?yàn)轭愃朴谖⒎炙枷?，在求解泛函J[y]的極值時(shí)，需要考慮函數(shù)y_0相鄰近的一切函數(shù)。泛函分析把變分思想進(jìn)行升級： 當(dāng)把函數(shù)當(dāng)成點(diǎn)后，與函數(shù)點(diǎn)之間的本質(zhì)區(qū)別其實(shí)就是某種衡量遠(yuǎn)近的幾何度量的不同，當(dāng)把某些函數(shù)構(gòu)成的集合定義為具有某種度量的的空間后，微積分的許多思想就能借用了)。 真正奠定現(xiàn)代泛函分析思想和框架的是希爾伯特和巴拿赫，而推動泛函分析發(fā)展的是馮·諾伊曼。 1、泛函分析起源于純數(shù)學(xué)研究 泛函分析奠基性工作主要來源于：Fredholm和Hilbert關(guān)于積分方程的工作，Volterra 和Hadamard 關(guān)于動量問題的研究，Hahn 和Banach關(guān)于對偶概念的研究， Lebesgue， Frechet ，Banach和 Riesz 在抽象空間上的研究。 限于篇幅，我們下面只介紹關(guān)鍵的希爾伯特和巴拿赫的工作。 （1）、希爾伯特關(guān)于積分方程的工作 最早的積分方程來源于傅立葉研究熱問題。1822年，傅立葉討論了如果去逆向解如下積分方程： f(x)=∫e^itx*g(t)dt 也就是已知f，怎么求出g。 現(xiàn)代的語言中，這其實(shí)就是求傅立葉變換的逆變換。傅立葉證明了g(x)=1/2πi（∫e^-itx*f(t)dt）， 也即反傅立葉公式。 Abel提出一個(gè)類似的問題：假設(shè)我們知道一個(gè)曲線y=f(x)滿足f(a)=0，我們想要找出g滿足： f(x)=∫_a^xg(y)/√(x-y)dy Abel證明了g(x)=1/π（∫_a^xf’(y)/√(x-y)dy） Liouville在研究二階常微分方程的時(shí)候發(fā)現(xiàn)上述問題等價(jià)于一類積分方程。比如方程：f”+f=g如果滿足邊界條件f(a)=1，f’(a)=0，利用這個(gè)方程的基本解可以證明方程的解滿足： f(x)=cos(x-a)+∫_a^xsin(x-y)*g(y)dy 也即二階的常微分方程也可以等價(jià)于某一類積分方程。 基于上述工作，F(xiàn)redholm和Hilbert總結(jié)為： 積分方程都可以歸類為下面的兩種形式（后世稱之為第一類和第二類積分方程）： ∫_a^bK(x，y)f(y)dy=g(x)和λf(x)-∫_a^bK(x，y)f(y)dy=g(x) 其中a，b，g給定，目標(biāo)是求解出f。函數(shù)K(x，y)被稱為這個(gè)方程的核，一般假設(shè)這是一個(gè)容易求解的函數(shù)。 瑞典數(shù)學(xué)家Ivar Fredholm在1903年第一個(gè)給出了這兩類方程嚴(yán)格的處理方法：他的思想就是著名的Fredholm二擇一原理：如果K(x，y)是某類正則對稱核（K(x，y)=K(y，x)），第二類方程 λf(x)-∫_a^bK(x，y)f(y)dy=g(x) 和其次方程λf(x)-∫_a^bK(x，y)f(y)dy=0 滿足： 對于任何復(fù)數(shù)λ，第一個(gè)方程對于某個(gè)g∈L^2(a，b)有解當(dāng)且僅當(dāng)?shù)诙€(gè)方程的所有解v滿足∫_a^bgvdx=0。 也即以下兩個(gè)情況只能二選一 ★第一個(gè)方程對于任意g∈L^2(a，b)有解。 ★第二個(gè)方程有非零的解。 所以要證明第一種情況只需要證明第二個(gè)不可能成立即可。 Hilbert看完Fredholm的工作后，建立了積分方程的根本理論：Hilbert的基本思想是考慮了如何用雙線性形式(雙線性的定義是設(shè)X,Y都是向量空間，f 是直積,X×Y={(x,y)|x∈X,y∈Y},是一個(gè)映射。如果 f 滿足f(a_1x_1+a_2x_2,y)=a_1f(x_1,y)+ a_2f(x_2,y),f(x ,b_1y_1+b_2y_2)=b_1f(x,y_1)+ b_2f(x,y_2), 則稱 f 是雙線性型)來處理Fredholm提出的問題，為此他定義了內(nèi)積（一種向量乘積，用矩陣表達(dá)。這是希爾伯特把函數(shù)看成函數(shù)構(gòu)成的向量空間的一個(gè)向量的原始思想來源，為后來希爾伯特空間概念提出奠定基礎(chǔ)，這也是泛函分析最主要的思想源泉），把源問題寫成：f-λkf=g ， 后乘上一個(gè)函數(shù)u變成了 (u，f)- λ(u，kf)=(u，g)，任給u∈L^2(a，b) 希爾伯特把滿足方程φ_n(x)=λ_n* ∫_a^bK(x，y)φ_n(y)dy的的函數(shù)φ_n(x)稱為特征函數(shù)，而λ_n為特征向量。 他證明了：如果λ_n不同，則對應(yīng)的特征向量是正交的: ∫_a^bφ_n(x) φ_m(x)dx=0（類似正定對稱矩陣不同特征值對應(yīng)的特征向量也是正交的）。 他證明了如果K(x，y)是對稱而且連續(xù)的，任何兩個(gè)連續(xù)函數(shù)的乘積滿足 ∫_a^b∫_a^b K(s，t)x(s)y(t)dsdt=∑_n=1^m1/λ_n(∫_a^bφ_n(s)x(s)ds)(∫_a^bφ_n(s)y(s)ds) 這里的m可能是有限或者無限。在無限的情況下，這個(gè)積分對于任何屬于L^2(a，b)上的函數(shù)都成立。用內(nèi)積的記號，可以寫成 (Kx，y)= ∑_n=1^m 1/λ_n(φ_n，x)( φ_n，y)， 他證明了： 如果存在g使得f(x)= ∫_a^bK(x，y)g(y)dy成立，那么f=∑_n=1^m c_n*φ_n， 其中c_n=∫_a^bφ_n（x)f(x)dx， 希爾伯特定義這個(gè)展開方式叫廣義傅立葉級數(shù)，而c_n叫廣義傅立葉系數(shù)。 希爾伯特上述工作本質(zhì)是：利用正交展開將積分方程求解問題化成無限階的線性方程組求解問題，并在此基礎(chǔ)上實(shí)際引入無限維（實(shí)）歐幾里得空間l^2，即滿足∑_n=1^∞|a_n|^2＜∞的實(shí)數(shù)列a＝(a_1，a_2，…，a_n，…)全體。他提出了l^2上有界雙線性形式、有界線性形式(即所謂連續(xù)線性泛函)以及兩種收斂（即所謂的強(qiáng)、弱收斂）等概念，給出了l^2上的選擇原理(即所謂的閉單位球的弱緊性)，還發(fā)現(xiàn)連續(xù)譜的存在等等。 上述工作為積分方程建立了基礎(chǔ)，為系統(tǒng)化的理解積分方程展開了方向：對數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)化；對任意函數(shù)的級數(shù)展開建立邏輯基礎(chǔ)；這就是泛函分析后來的展開方向，也為微分方程數(shù)值逼近，變分法和位勢理論(potential theory)發(fā)展提供了原始思想。 顯然，希爾伯特工作還未完全建立泛函概念，因?yàn)樵?0世紀(jì)初，函數(shù)的概念還僅僅是解析表達(dá)式，并未有今天：函數(shù)就是一個(gè)集合到另外一個(gè)集合的映射這種理解。所以希爾伯特在積分方程中定義內(nèi)積概念時(shí)，碰到如何定義函數(shù)的函數(shù)概念的困難（(u，f)就是一個(gè)以函數(shù)為變量的函數(shù)）。 真正理解現(xiàn)代函數(shù)概念，并完整提出現(xiàn)代泛函概念的是其他數(shù)學(xué)家，現(xiàn)代數(shù)學(xué)定義函數(shù)是通過映射，也即函數(shù)是一個(gè)集合映射到另外一個(gè)集合的映射，所以理解函數(shù)的函數(shù)概念易如反掌。具體內(nèi)容在微積分介紹函數(shù)時(shí)已經(jīng)介紹，不重復(fù)。 （2）、希爾伯特以后的后續(xù)工作 弗雷歇（Frechet）提出了以具體函數(shù)類為背景的抽象度量空間概念，并完善推廣了度量空間中的緊性、完備性、可分性等基本概念。 希爾伯特的學(xué)生施密特（Schmidt）系統(tǒng)的發(fā)展了l^2的空間理論。他在希爾伯特工作基礎(chǔ)上，把所有∑_n=1^∞|a_n|^2＜∞的實(shí)數(shù)列集合在一起構(gòu)成l^2，并在這個(gè)集合上定義了內(nèi)積： <x，y>=∑_n=1^∞x_ny_n^- 內(nèi)積本質(zhì)是比較l^2上任意兩個(gè)元素，特別的范數(shù)是： ‖x‖=√(x，x)=√(∑_n=1^∞|x_n|^2)，以下的三角不等式成立： ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖ 同時(shí)Schmidt和Frechet定義了L^2：這個(gè)空間由所有滿足 ∫_a^b|f|^2dx＜∞的Lebesuge可測函數(shù)構(gòu)成，在這個(gè)空間也能定義內(nèi)積：（f，g）=∫_a^bf g^-dx g^-是 g(t)的共軛（復(fù)數(shù)域），從而也可以定義范數(shù)： ‖f‖=√(f，f)=√(∫_a^b|f|^2ds) Riesz在上述基礎(chǔ)上證明了下面的結(jié)果： 如果一個(gè)（φ_n）是一列n充分大的單位正交列（即φ_i， φ_i）=1，（φ_i， φ_j）=0，當(dāng)i≠j，）而a_n =∫_a^bφ_n（x)f(x)dx，（也即a_n是f(x)傅立葉系數(shù))，那么∑_n=1^∞a_n^2＜∞成立的充分條件是存在f∈L^2使得 ∫_a^bf(s) φ_n (x) dx=f(x)成立，也即 f(x)的傅里葉級數(shù)收斂于f(x)（同時(shí)也證明了：{a_n}為L^2[a,b]中某個(gè)函數(shù)的傅里葉系數(shù)的必要條件是∑_n=1^∞a_n^2＜∞）。 這個(gè)定理說明l^2和L^2的元素是一一對應(yīng)的(這個(gè)定理的特例就是傅立葉展開)。 這是泛函分析的基礎(chǔ)定理。 根據(jù)上述定理，可以證明希爾伯特空間的共軛空間(共軛空間就是賦范空間X上的全體線性連續(xù)泛函所組成的線性空間X^*),它與自身（保持范數(shù)不變地）同構(gòu)（也叫共軛線性同構(gòu)），這個(gè)結(jié)果在希爾伯特空間算子理論中具有很重要的作用。 在上述基礎(chǔ)上，Schmidt在1908年給出了正交、閉集、向量子空間的定義，并證明在閉向量子空間上投影的存在性。這是幾何概念正式進(jìn)入了泛函分析。 1902年勒貝格積分出現(xiàn)，為希爾伯特工作的進(jìn)一步發(fā)展提供更好的工具，在此基礎(chǔ)上，里斯引入平方可積函數(shù)空間L^2[α，b]，證明了它的完備性、可分性，將弗雷德霍姆理論推廣到K(x，y)是矩形[α，b]×[α，b]上平方可積函數(shù)的情形。 然后是泛函分析對偶理論（用連續(xù)性條件來刻畫一定函數(shù)類上的連續(xù)線性映射T:E→F）的發(fā)展。1903年阿達(dá)馬在E是C[α，b]([α，b]上連續(xù)函數(shù)的全體)，F(xiàn)是實(shí)數(shù)域，當(dāng){f_n}一致收斂于? 時(shí)，T f_n→Tf的情況下，將T 表示成一列積分的極限的形式。但這種表示不惟一。 后來弗雷歇和里斯在實(shí)l^2空間上，獨(dú)立地在T 是強(qiáng)連續(xù)假設(shè)下給出簡單而惟一的表示，即希爾伯特空間l^2上的連續(xù)線性泛函表示定理。里斯又給出C[α，b]、L^p[α，b]、l^p(p>1)上的表示定理。在這些表示定理實(shí)質(zhì)上就是證明了線性子空間（又稱向量子空間）上連續(xù)線性泛函必可延拓到全空間的定理。 黑利1921年用賦范數(shù)列空間代替具體的C[α，b]、Lp[α，b]、l^p等而考慮抽象形態(tài)的延拓問題。 至此，現(xiàn)代泛函分析的框架就基本完成了。 （3）、弗雷歇（Frechet）對數(shù)學(xué)分析的抽象公理化 泛函分析發(fā)展的另外一個(gè)重大突破是把數(shù)學(xué)分析現(xiàn)代化了，建立了公理化體系。 弗雷歇認(rèn)為，希爾伯特用一串無限的數(shù)列（廣義的傅立葉系數(shù)）來替換函數(shù)，然后他去處理那些數(shù)列而不是函數(shù)本身。這本質(zhì)上就是在無窮維空間建立一種坐標(biāo)概念（在正交基上的投影是傅立葉變換的典型手段，也是處理復(fù)雜問題的主要手段，而正交基本質(zhì)上就是一種坐標(biāo)系），這是一個(gè)最本質(zhì)的突破，也是超出人類直覺的發(fā)現(xiàn)。 但是Frechet認(rèn)為，數(shù)學(xué)分析不能依靠坐標(biāo)去定義微分（古典微積分定義微分是需要坐標(biāo)概念的，這一點(diǎn)限制了對泛函求導(dǎo)，因?yàn)榉汉瘺]有坐標(biāo)，或者說是無限維的）。否則分析的方法無法抽象到一般無窮維空間，他認(rèn)為廣義分析或者說泛函分析只需要基于集合論和集合（空間）中極限（本質(zhì)上就是點(diǎn)集拓?fù)洌┻@種基礎(chǔ)就能完全建立起來，坐標(biāo)是多于概念。 基于上述思想，他定義了度量空間：也就是一個(gè)函數(shù)的集合，其中任何兩個(gè)函數(shù)之間都可以定義距離（比現(xiàn)在抽象的度量狹隘一點(diǎn)），并且在集合上附加一個(gè)結(jié)構(gòu)，使得這個(gè)集合中元素之間可以相互比較差異。這個(gè)想法是革命性的。這就是數(shù)學(xué)分析公理化的思想。根據(jù)上述思想，弗雷歇寫出第一本泛函分析的教程，奠定了現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)。這本教程影響了一大批人，包括大名鼎鼎的Hausdorff。 （4）、巴拿赫的工作 巴拿赫的最大貢獻(xiàn)在于推廣了弗雷歇的思想，認(rèn)為泛函的本質(zhì)概念就是空間之間的映射（也即函數(shù)的函數(shù)），并提出了賦范線性空間這個(gè)概念，并且研究了上面的一些非常重要的算子性質(zhì)。 巴拿赫定義的賦范線性空間就是線性空間X如果帶有一個(gè)范數(shù)。他定義的一般的的范數(shù)是：‖.‖:X→[0，∞)本身是一個(gè)X上的函數(shù)，滿足下面幾條性質(zhì)即可：存在零元素；對于任何a∈R，f∈X， ‖af‖=|a|‖f‖；‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖；如果lim_m，n→∞‖x_n-x_m‖=0成立，那么存在x∈X使得lim_ n→∞‖x_n-x‖=0（完備性）。 也即巴拿赫空間就是完備的賦范線性空間。 巴拿赫定義最大的突破是：可以不再依賴坐標(biāo)定義極限，連續(xù)，可微，可積等等數(shù)學(xué)分析中基本概念了，因?yàn)樗x的范數(shù)和完備性，是不依賴坐標(biāo)的抽象定義。在巴拿赫空間中，定義函數(shù)連續(xù)：一個(gè)映射F:X→X如果滿足對于任意lim_ n→∞‖x_n-x‖=0的數(shù)列x_n， lim_ n→∞‖F(xiàn)(x_n)-F(x)‖=0成立， 那么稱這個(gè)函數(shù)是連續(xù)的。用L(X)表示所有從X映到自身的線性連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的集合。 當(dāng)不需要坐標(biāo)去定義導(dǎo)數(shù)，就能夠定義一個(gè)函數(shù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)一個(gè)函數(shù)F:X→X在某一點(diǎn)x可導(dǎo)當(dāng)且僅當(dāng)存在一函數(shù)A∈L(X)使得 ‖F(xiàn)(x+δ)-F(x)-Aδ‖=0(δ)。A就是F的導(dǎo)數(shù)，記為F’(x)。這樣無限維微積分就建立了。 （5）、巴拿赫空間后續(xù)發(fā)展 后來，在許多具體的無限維空間以及它們上面相應(yīng)的收斂性陸續(xù)被證明后，E.哈恩、巴拿赫和N.維納在1923年提出了抽象形態(tài)的線性空間（向量空間）定義和按范數(shù)收斂的概念，哈恩提出了共鳴定理，1927年H.施坦因豪斯和巴拿赫用完備度量空間的第二綱性（baire綱定理）證明了共鳴定理（設(shè)X是巴拿赫空間，Y是賦范線性空間， 則從X到Y(jié)的一族有界線性算子的范數(shù)集是有界的。所以共鳴定理也叫一致有界性原理或巴拿赫-施坦豪斯定理），根據(jù)這個(gè)定理，巴拿赫證明了著名的壓縮映射的不動點(diǎn)定理（大名鼎鼎的不動點(diǎn)定理構(gòu)建了整個(gè)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)）、開映射定理。 1927年巴拿赫--哈恩證明了巴拿赫空間上泛函延拓定理，這個(gè)定理為局部凸拓?fù)渚€性空間理論奠定了基礎(chǔ)，這是資源最優(yōu)配置算法的理論基礎(chǔ)。 1931年巴拿赫在《線性算子理論》一書中證明了巴拿赫空間上連續(xù)線性算子值域不是第一綱集便是全空間，并給出閉圖像定理。至此，巴拿赫空間理論已基本形成，以它為基礎(chǔ)，建立了整個(gè)泛函分析大廈，而且是泛函分析應(yīng)用中的最強(qiáng)有力工具?！?/p> （6）、算子譜論 希爾伯特的工作還引導(dǎo)出泛函分析另外一個(gè)主要發(fā)展方向：算子譜理論。 算子就是對任何函數(shù)進(jìn)行某一項(xiàng)操作都是一個(gè)算子，例如包括但不限于加減乘除，求冪次，開方，微分，積分，取概率（概率是集合{X<x}(實(shí)數(shù)集的子集)對[0，1]區(qū)間的一個(gè)映射），等等。嚴(yán)格講，算子就是集合之間映射，就是集合之間關(guān)系，就是某空間上定義的集合的變換。 在泛函分析中，常見的算子有微分算子，梯度算子，散度算子，拉普拉斯算子，哈密頓算子等。 算子的定義并不限于有限函數(shù)空間，是定義在一般空間的，例如度量空間，向量空間，賦范向量空間，內(nèi)積空間， Banach空間，Hilbert空間等等。算子還可分為有界的與無界的，線性的與非線性的等等類別。 算子的譜就是算子的特征值（對于有限維空間上的算子，譜論討論的就是研究對應(yīng)矩陣的特征值、特征空間以及若爾當(dāng)分解等性質(zhì)）。例如對于一個(gè)輸入和輸出函數(shù)類型相同的算子T，滿足T(f)=kf的k稱為算子T的特征值，相應(yīng)的f稱作T關(guān)于k的特征函數(shù)。這是線性代數(shù)特征值概念的直接推廣。 對于有限維空間X上的線性算子A，A的譜點(diǎn)就是特征值。可以證明空間X按這些特征值可以分解成若干個(gè)關(guān)于這個(gè)算子的不變子空間，相應(yīng)的正交化的特征向量是X中的 一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，空間中的任意一個(gè)元素x可以用這組正交基表示出來，也即x可以分解為正交基上的投影，（A作用的形式是放大、縮小特征值的倍數(shù)）。 所以特征值刻畫了有限維空間上線性算子的基本性質(zhì)，在無窮維空間，根據(jù)線性算子譜(特征值)也能類似的刻畫線性算子的性質(zhì)。當(dāng)然泛函分析討論的線性算子譜理論比限維空間的情況復(fù)雜得多，線性算子的譜理論不僅僅包含特征值，還可以有連續(xù)譜、剩余譜等。 抽象譜論是里斯開始的，他的思想直接源頭是弗雷德霍姆理論，他的這個(gè)理論與有限階線性方程組求解理論極其相似。1918年，里斯在l^p和C[α，b]上，用算子代替希爾伯特的雙線性形式，在巴拿赫空間上引入全連續(xù)算子概念，得到l^2上有界自共軛算子A的譜分解:f(A)=∫_a^bf(λ)dE_λ，其中f是[α，b]上的連續(xù)函數(shù)，{E_λ}是l^2上一族投影算子。這個(gè)定理對希爾伯特發(fā)現(xiàn)的連續(xù)譜做出了很好的解釋。也即非特征值的連續(xù)譜所相應(yīng)的是廣義特征向量。 譜理論真正的應(yīng)用在量子力學(xué)中。因?yàn)槲锢砩峡捎^察量的性質(zhì)與希爾伯特空間上自共軛算子的性質(zhì)一致，這個(gè)里斯譜分解定理提供了一個(gè)算子所作用的向量空間的標(biāo)準(zhǔn)分解，也稱稱為譜分解，特征值分解，或者特征分解。 這方面作出最大貢獻(xiàn)的是馮·諾伊曼。1926年馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)物理學(xué)家所必須運(yùn)用的狄拉克δ函數(shù)有邏輯矛盾，為此引入抽象的希爾伯特空間概念（希爾伯特空間定義就是馮·諾伊曼提出來的），并把物理學(xué)上的可觀察量以及奇異積分方程、微分方程中出現(xiàn)的無界算子給出了無界自共軛算子的譜分解，并發(fā)現(xiàn)對稱算子和自共軛算子的區(qū)別，建立了對稱算子虧指數(shù)理論，又給出了酉算子和正常算子譜分解，證明了量子力學(xué)中交換關(guān)系的表示在酉等價(jià)意義下是惟一的（即量子力學(xué)體系的數(shù)學(xué)描述本質(zhì)上只有一種，這是很偉大的發(fā)現(xiàn)，也是超出直覺的發(fā)現(xiàn)，使薛定諤的波動方程和海森堡矩陣力學(xué)不再扯皮）等等，為非正常算子譜論和巴拿赫空間算子譜論提供一個(gè)基礎(chǔ)。 巴拿赫的《線性算子理論》一書問世以及馮·諾伊曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》一書問世，標(biāo)志著泛函分析已作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支學(xué)科誕生。 以上內(nèi)容可以參考布爾巴基學(xué)派奠基人之一迪多涅的名著《泛函分析歷史》。 2、量子力學(xué)推動了泛函分析發(fā)展 泛函分析作為學(xué)科的形成，以致它的整個(gè)發(fā)展，至今主要是圍繞著對偶理論和算子譜論展開的，而這是馮·諾伊曼從研究量子力學(xué)數(shù)學(xué)化引入的概念，被巴拿赫完善的。 這一部分主要介紹馮·諾伊曼的工作。具體內(nèi)容可以參看其經(jīng)典名著《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。 量子力學(xué)的公理化和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是馮·諾伊曼建立的。核心是引入了算子代數(shù)。 1926年，馮·諾伊曼來到哥廷根大學(xué)，跟隨希爾伯特研究數(shù)學(xué)，但是被哥廷根大學(xué)的量子力學(xué)工作吸引，當(dāng)時(shí)馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很混亂，例如海森堡、玻恩和泡利從微觀粒子的粒子性出發(fā)建立的矩陣力學(xué)，薛定諤從波動性出發(fā)建立的波動力學(xué)互相之間無法兼容統(tǒng)一，盡管后來薛定諤用狄拉克和約當(dāng)發(fā)展的線性變換理論證明了兩者的等價(jià)性，但是量子力學(xué)仍然是一團(tuán)亂麻，以至于當(dāng)時(shí)認(rèn)為世界上只有3個(gè)半人懂，馮·諾伊曼認(rèn)為可以通過建立形式化的數(shù)學(xué)體系和一體化框架，可以統(tǒng)一這兩種量子力學(xué)體系。 在介紹馮·諾伊曼工作之前，我們得回顧一下量子力學(xué)的基本假設(shè)。 首先是學(xué)過大學(xué)普通物理都知道的玻爾的基本假設(shè)。玻爾為了解決原子結(jié)構(gòu)和原子光譜提出了三條基本假設(shè)： ★定態(tài)假設(shè)： 電子在原子中， 可以在一些特定的圓軌道上運(yùn)動， 而不輻射電磁波， 這時(shí)原子處于穩(wěn)定狀態(tài)（定態(tài)） 并具有一定的能量。 ★量子化條件： 電子以速度v在半徑為r的圓周上繞核運(yùn)動時(shí)， 只有電子角動量 l 等于h / 2π的整數(shù)倍的那些軌道才是穩(wěn)定的，也即 l=mrv=nh/2π，其中n=1， 2， 3， . . . 稱為主量子數(shù)。 ★躍遷假設(shè)： 當(dāng)原子從從高能量E i 的軌道躍遷到低能量E f 的軌道上時(shí)， 要發(fā)射能量為 hv= E i- E f 的光子。 基于上述假設(shè)（當(dāng)然還有其他人的假設(shè)，例如普朗克假設(shè)等等，但是不是很本質(zhì)，就不重復(fù)了），薛定諤和海森堡分別得到量子力學(xué)的五條基本假設(shè)（參照狄拉克的《 Principle of Quantum Mechanics》，有中譯本。這是目前絕大多數(shù)量子力學(xué)五大公設(shè)之說的由來）。 量子力學(xué)五條基本假設(shè)： ★波函數(shù)假設(shè)：微觀物理系統(tǒng)的狀態(tài)由一個(gè)波函數(shù)完全描述。 一個(gè)微觀系統(tǒng)包含著若干個(gè)粒子，當(dāng)這些粒子按照量子力學(xué)的規(guī)律運(yùn)動，稱此系統(tǒng)處于某種量子狀態(tài)，簡稱量子態(tài)。波函數(shù)是粒子位置和時(shí)間的復(fù)函數(shù)，當(dāng)一個(gè)微觀系統(tǒng)的波函數(shù)得確定時(shí)，該系統(tǒng)的全部性質(zhì)都可以由此得出，即波函數(shù)表征了系統(tǒng)的量子態(tài)。 為了保證波函數(shù)具有物理意義，它必須滿足連續(xù)性、有限性和單值性條件。 量子力學(xué)表征狀態(tài)的這種方式與經(jīng)典力學(xué)是完全不同的。在經(jīng)典力學(xué)中，我們一般通過質(zhì)點(diǎn)的位置和動量來確定質(zhì)點(diǎn)的狀態(tài)，如能量、角動量等都是該兩個(gè)量的函數(shù)。由于微觀粒子的波粒二象性，我們并不能同時(shí)確定粒子的位置和動量（實(shí)際上它們有許多可能值），因此在量子力學(xué)中，需要利用波函數(shù)來說明體系的量子態(tài)，并由它來對量子系統(tǒng)做出統(tǒng)計(jì)描述。當(dāng)然波函數(shù)并不能直接通過物理實(shí)驗(yàn)來測得，能夠測出的是概率密度 。而確定波函數(shù)需要量子力學(xué)的下一條假設(shè)。 ★量子態(tài)演化假設(shè)：量子系統(tǒng)的狀態(tài)隨時(shí)間的演化滿足薛定諤方程。 如果量子態(tài)中都滿足該方程，那么它們的線性疊加也同樣也滿足該方程。量子態(tài)都是同一個(gè)量子系統(tǒng)的可能量子態(tài)，則它們的線性疊加也是這個(gè)量子系統(tǒng)的可能量子態(tài)，這就是量子態(tài)的疊加，簡稱疊加態(tài)。 量子態(tài)是描述物理系統(tǒng)的基礎(chǔ)，可以用Hilbert空間中的態(tài)矢量表示，也即態(tài)矢量可以構(gòu)成對粒子的(完備)描述，而力學(xué)量用厄米算符表示。 解釋一下：經(jīng)典力學(xué)中物理量的測量值對應(yīng)是各階數(shù)值張量，而量子力學(xué)中物理量的測量值對應(yīng)是各階線性算符張量，也即在任何一個(gè)時(shí)刻（在測量前）對一個(gè)量子系統(tǒng)的物理量不可能預(yù)言單一的數(shù)值，除非一個(gè)算符的特征值只有一個(gè)。量子力學(xué)假設(shè)確定了任何一個(gè)時(shí)刻物理量的算符形式是確定的，所以能準(zhǔn)確預(yù)言任意時(shí)刻物理量的算符形式而不是物理量的數(shù)值。因此從經(jīng)典力學(xué)過渡到量子力學(xué)的方法就是保留物理量原有的形式并把復(fù)數(shù)改成線性算符即可，除非出現(xiàn)了沒有經(jīng)典對應(yīng)的物理量，比如自旋。 ★測量假設(shè)：量子力學(xué)中的可觀測量由厄米算符來表示（厄米算符從代數(shù)角度來講，表達(dá)自伴算子的矩陣是埃爾米特矩陣，即厄米算符表達(dá)了一個(gè)厄米矩陣(Hermitian Matrix)，從幾何角度來講，厄米算符就是在有限維的內(nèi)積空間上，一個(gè)自伴算子(self-adjoint operator)等于自己的伴隨算子。在線性代數(shù)中，我們知道埃爾米特矩陣就是等于自己的共軛轉(zhuǎn)置的矩陣。厄米算符具有一些重要的性質(zhì)：在任何狀態(tài)下，厄米算符的特征值必為實(shí)數(shù)；在任何狀態(tài)下平均值為實(shí)數(shù)的算符必為厄米算符；厄米算符的屬于不同特征值的特征函數(shù)彼此正交；厄米算符的特征函數(shù)具有完備性，根據(jù)有限維的譜定理，必定存在著一個(gè)正交歸一基，可以表達(dá)自伴算子為一個(gè)實(shí)值的對角矩陣）。 可觀測量是指可通過物理實(shí)驗(yàn)得到測量結(jié)果的量，它對應(yīng)于經(jīng)典理論中的力學(xué)量。算符是指作用到一個(gè)函數(shù)上得到另一個(gè)函數(shù)的運(yùn)算符號。由于量子系統(tǒng)中粒子的力學(xué)量（如坐標(biāo)、動量、能量等）并不像經(jīng)典力學(xué)中那樣能同時(shí)具有確定的值，因此引入了算符來表示這些力學(xué)量（因?yàn)樗辛W(xué)量的數(shù)值都是實(shí)數(shù)，所以表示力學(xué)量的算符也是實(shí)數(shù)。在泛函分析中，厄米算符具有這樣的性質(zhì)，因而在量子力學(xué)中，用厄米算符來表示力學(xué)量）。 解釋一下上述意思：經(jīng)典力學(xué)描述物理系統(tǒng)以該系統(tǒng)的空間位形（位置和形狀）為基礎(chǔ)，位形的變化及如何變化反映系統(tǒng)的運(yùn)動及動力學(xué)性質(zhì)；而量子力學(xué)描述物理系統(tǒng)則以該系統(tǒng)的狀態(tài)為基礎(chǔ)，由此引入了一個(gè)經(jīng)典力學(xué)中完全沒有的量子態(tài)的概念，態(tài)蘊(yùn)含了該系統(tǒng)的所有物理信息。經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為物理量（物理量是指一切現(xiàn)象、實(shí)體、物質(zhì)等的可以被觀測量化的物理性質(zhì)）的數(shù)學(xué)模型是數(shù)值量；而量子力學(xué)則認(rèn)為物理量的數(shù)學(xué)模型是線性算符量，前者認(rèn)為物理量直接能被觀測量化，后者認(rèn)為同觀測相聯(lián)系的僅僅只是物理量的特征值或期望值。 量子力學(xué)中的態(tài)空間由多個(gè)特征態(tài)（Eigen state）構(gòu)成，特征態(tài)是一個(gè)基本的量子態(tài)，簡稱基本態(tài)（Basic stat）或基矢（Basic vector）。態(tài)空間是一個(gè)線性的復(fù)向量空間，即希爾伯特空間。希爾伯特空間可以表示量子系統(tǒng)的各種可能的量子態(tài)，算符描述對應(yīng)于力學(xué)量，當(dāng)系統(tǒng)處于的某個(gè)特征態(tài)時(shí)，力學(xué)量有確定值=該特征態(tài)中的特征值。若測量的態(tài)矢量不是特征矢量， 則測量是一個(gè)概率。 上述量子測量假設(shè)必然導(dǎo)致了一個(gè)量子系統(tǒng)特有性質(zhì)的出現(xiàn)：量子糾纏。當(dāng)幾個(gè)粒子在彼此相互作用后，由于各個(gè)粒子所擁有的特性已綜合成為整體性質(zhì)，無法單獨(dú)描述各個(gè)粒子的性質(zhì)，只能描述整體系統(tǒng)的性質(zhì)，則稱這現(xiàn)象為量子纏結(jié)或量子糾纏（quantum entanglement）。例如有兩個(gè)自旋向上或向下的電子A和B，總共有四種可能的結(jié)合態(tài)：|↑↑?、|↑↓?、|↓↑?、|↓↓?。態(tài)矢量|Ψ?可以是這四種態(tài)的疊加，由于它不能被分離為單個(gè)電子的態(tài)的乘積，所以這個(gè)系統(tǒng)的態(tài)被稱為糾纏態(tài)，當(dāng)然四種可能的結(jié)合態(tài)的疊加不一定都是糾纏態(tài)。在糾纏態(tài)中，A和B的測量是不獨(dú)立的，將這糾纏的兩個(gè)電子分開，比如一個(gè)留在地球上，另一個(gè)則被送往宇宙的另一端。接著我們測量留在地球上的電子的自旋，測量的結(jié)果有50%的可能自旋向上，50%的可能自旋向下。但是，一旦我們測得這個(gè)電子的自旋，就能即刻確定在宇宙另一端的電子的自旋。 量子糾纏是一種純粹發(fā)生于量子系統(tǒng)的現(xiàn)象，在經(jīng)典力學(xué)里，找不到類似的現(xiàn)象。 當(dāng)處于量子糾纏態(tài)時(shí)，各子系統(tǒng)的狀態(tài)都依賴于對方但各自卻處于一種不確定的狀態(tài)。也就是說當(dāng)未對子系統(tǒng)做出測量時(shí)，系統(tǒng)都分別處于各自的疊加態(tài)，而當(dāng)對子系統(tǒng)中的一個(gè)進(jìn)行測量，使該系統(tǒng)從疊加態(tài)塌縮到一個(gè)特征態(tài)時(shí)，必然對另外的子系統(tǒng)產(chǎn)生直接的作用，且測量包含了另外子系統(tǒng)的信息，并在瞬時(shí)改變了另外系統(tǒng)的描述。一個(gè)多體糾纏態(tài)不可能通過任何因式化分解為可分離的形式。從信息傳輸?shù)慕嵌瓤矗m纏中包含著量子關(guān)聯(lián)的信息，目前的量子計(jì)算實(shí)驗(yàn)和量子通信實(shí)驗(yàn)都證明量子糾纏的存在，且量子糾纏對子信息隱形傳態(tài)和稠密編碼中有很好的體現(xiàn)，同時(shí)量子計(jì)算機(jī)也利用了量子糾纏特性，才能保證使所需的結(jié)果在計(jì)算結(jié)束后以較大的概率出現(xiàn)。 ★粒子全同性假設(shè)：在量子系統(tǒng)中，存在內(nèi)稟屬性完全相同的粒子，對任意兩個(gè)這樣的粒子進(jìn)行交換，不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)。 該假設(shè)的意味著，在一個(gè)由多個(gè)全同粒子（例如全是電子）構(gòu)成的量子系統(tǒng)中，假如我們能夠?qū)λ鼈冞M(jìn)行標(biāo)識的話，那么交換任意兩個(gè)粒子被標(biāo)識的粒子，系統(tǒng)的概率分布不變，而概率幅至多會有正負(fù)號的改變，其中＋號對應(yīng)于粒子為玻色子的情況，而—對應(yīng)于費(fèi)米子的情況。這就表明在量子力學(xué)中，交換任意兩個(gè)全同粒子，不會導(dǎo)致任何可被觀測到的現(xiàn)象出現(xiàn)，也即微觀粒子是不能被標(biāo)識的，我們不可能在兩個(gè)電子之間做出區(qū)分，因?yàn)樗鼈冊诶碚撋鲜峭耆葍r(jià)的。這與經(jīng)典物理的情況是不同的，因?yàn)榻?jīng)典物理中，粒子雖然在技術(shù)上無法區(qū)分，但可以追蹤一個(gè)個(gè)粒子，給它們一個(gè)個(gè)編號。 全同粒子是大量粒子的集體行為，顯著影響粒子的統(tǒng)計(jì)行為，全同粒子的統(tǒng)計(jì)分布不再滿足經(jīng)典的麥克斯韋--玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)，而是換成玻色--愛因斯坦統(tǒng)計(jì)或費(fèi)米--狄拉克統(tǒng)計(jì)（分子以上的一般遵循麥克斯韋--玻爾茲曼分布，原子以下的粒子行為基本都是費(fèi)米--狄拉克分布和玻色--愛因斯坦分布）。所以量子統(tǒng)計(jì)和經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的區(qū)別并不在于粒子具有波粒二象性，而是粒子是不可區(qū)分的。全同粒子和波粒二象性都是量子力學(xué)的基本假設(shè)。全同粒子是量子力學(xué)特有的概念，完全沒有經(jīng)典的對應(yīng)。微觀粒子的不可分辨性是因?yàn)榱孔酉喔桑毫Ｗ拥目灯疹D波長大于粒子平均間距。 這個(gè)假設(shè)可以解釋許多著名現(xiàn)象，例如絕緣體不導(dǎo)電（電子是費(fèi)米子，在絕緣體中把所有可能的運(yùn)動狀態(tài)擠滿了，于是就沒辦法讓特定方向的流動更顯著產(chǎn)生宏觀電流）；元素周期表（電子擠不下了才會一層一層軌道向外排，產(chǎn)生周期律）；超導(dǎo)，超流，玻色--愛因斯坦凝聚等等。 在量子力學(xué)的框架下全同粒子不可分辨只是作為公理假設(shè)。 ★泡利不相容原理：在費(fèi)米子（在一組由全同粒子組成的體系中，如果在體系的一個(gè)量子態(tài)（即由一套量子數(shù)所確定的微觀狀態(tài)）上只容許容納一個(gè)粒子，這種粒子稱為費(fèi)米子。或者說自旋為半奇數(shù)（1/2，3/2…）的粒子統(tǒng)稱為費(fèi)米子，服從費(fèi)米--狄拉克統(tǒng)計(jì)）組成的系統(tǒng)中，不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于完全相同的狀態(tài)。在原子中完全確定一個(gè)電子的狀態(tài)需要四個(gè)量子數(shù)：主量子數(shù)n、角量子數(shù)l、磁量子數(shù)ml以及自旋磁量子數(shù)ms。因此泡利原理又可表述為原子內(nèi)不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的4個(gè)量子數(shù)n、l 、ml 、ms 。所以泡利不相容原理在原子中就表現(xiàn)為：不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的電子具有完全相同的四個(gè)量子數(shù)，或者說在軌道量子數(shù)m，l，n，ms確定的一個(gè)原子軌道上最多可容納兩個(gè)電子，而這兩個(gè)電子的自旋方向必須相反。這成為電子在核外排布形成周期性從而解釋元素周期表的準(zhǔn)則之一。核外電子排布遵循泡利不相容原理、能量最低原理和洪特規(guī)則。能量最低原理就是在不違背泡利不相容原理的前提下，核外電子總是盡先占有能量最低的軌道，只有當(dāng)能量最低的軌道占滿后，電子才依次進(jìn)入能量較高的軌道，也就是盡可能使體系能量最低。洪特規(guī)則是在等價(jià)軌道(相同電子層、電子亞層上的各個(gè)軌道)上排布的電子將盡可能分占不同的軌道，且自旋方向相同。量子力學(xué)證明，電子這樣排布可使能量最低，所以洪特規(guī)則可以包括在能量最低原理中，作為能量最低原理的一個(gè)補(bǔ)充）。 量子力學(xué)的五個(gè)假設(shè)建構(gòu)了量子力學(xué)的理論框架。從這些假設(shè)出發(fā)推導(dǎo)出的一些重要結(jié)論，解釋并預(yù)測了許多微觀領(lǐng)域的現(xiàn)象。近一個(gè)世紀(jì)大量的實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明了作為量子為學(xué)理論基礎(chǔ)的這些假設(shè)的正確性。 馮·諾伊曼根據(jù)上述五大假設(shè)構(gòu)造了量子理學(xué)的公理化框架。 第一步是原子狀態(tài)的數(shù)學(xué)描述。馮·諾伊曼的處理是：原子的狀態(tài)由希爾伯特空間中的單位向量表征（可以數(shù)學(xué)證明這種描述同海森堡和薛定諤的定義是一致的）。 簡單描述馮·諾伊曼的思想就是：一個(gè)系統(tǒng)的態(tài)，包含了為了確定它未來演化的所有信息集合。在經(jīng)典力學(xué)中，系統(tǒng)的態(tài)包括所有的粒子的位置和動量信息，在量子力學(xué)中，馮·諾伊曼定義為一個(gè)希爾伯特空間的矢量。例如一個(gè)只有兩種可能的態(tài)的系統(tǒng)（例如電子的自旋要么向上，要么向下），可以用矢量的兩個(gè)分量來表示(10)， (01)，取一個(gè)沿著z-軸自旋的電子，量子系統(tǒng)的態(tài)可以同時(shí)是兩種態(tài)的疊加，將態(tài)矢量相加得到電子的自旋可以即不向上，也不向下，它是兩種可能的態(tài)之間的線性疊加（其實(shí)疊加態(tài)的可能性是量子力學(xué)與經(jīng)典理學(xué)不同的本質(zhì)根源）。 在量子力學(xué)中，馮·諾伊曼定義可觀察量（就是可以測量的信息）就是矩陣，當(dāng)將矩陣作用于矢量上時(shí)，就能產(chǎn)生其他的矢量。 對于在一個(gè)系統(tǒng)上可以做的每一種測量（比如能量、位置、動量、自旋等等），都存在一個(gè)不同的矩陣。以電子的自旋為例，沿著x-軸、y-軸、z-軸自旋的電子相對應(yīng)的矩陣分別是：X=(0110)，Y=(0?110)，Z=(010?1)。通過矩陣乘法，矩陣作用在態(tài)矢量上，一些矢量就會改變方向，而那些經(jīng)過矩陣乘法之后，方向也仍保持不變的矢量被稱為特征矢量，從矩陣代數(shù)，我們很容易理解特征值。所以我們能夠理解馮·諾伊曼對量子力學(xué)中測量的定義：測量就是特征值?；蛘哒f一個(gè)測量的可能結(jié)果是與可觀察量相關(guān)的矩陣M的特征值m。但是，如果態(tài)不是可觀察量M的特征矢量，那么對M的測量結(jié)果將是概率性的。這樣，測量可以給出任何一個(gè)特征值mi，且每一個(gè)都有一定的概率。我們就可以以M的特征矢量的基來擴(kuò)展任意態(tài)|Ψ?：|Ψ?=∑iαi|i? 其中αi是復(fù)常數(shù)。給出特征值mi的測量概率為|αi|^2（即概率(mi)=| αi|2）。且所有概率之和必須為100%。以電子為例，測量到電子自旋向上和向下的概率分別為： |↑?:|α|^2，|↓?:|β|^2 ，且概率之和滿足|α|2+|β|2=1。在進(jìn)行測量后，態(tài)矢量會發(fā)生坍縮， 也即如果特征值mi被測量，那么測量后的系統(tǒng)的態(tài)是對應(yīng)的特征矢量|i?。如果我們現(xiàn)在重復(fù)測量，我們能確定無疑地得到相同的值mi。但是，如果我們對一個(gè)不同的可觀察量（對應(yīng)于一個(gè)新矩陣N）進(jìn)行測量，那么結(jié)果會再次是概率性的，除非|i?也是N的特征矢量。 以電子自旋為例，測量自旋向上或向下的概率分別為|α|2和|β|2。一旦進(jìn)行了測量，態(tài)矢量|Ψ?就會坍縮到|↑?或|↓?，具體坍縮到其中的哪一個(gè)態(tài)取決于被測量的是哪一個(gè)。任何沿著z-軸自旋的后續(xù)測量都會得到相同的值。但是，如果我們決定測量一個(gè)不同的量，比如沿著x-軸的自旋，那么結(jié)果會再次是概率性的。 上述解釋可以用薛定諤貓來理解（貓?zhí)幱谝粋€(gè)密封的盒子中，盒子中還有一個(gè)充滿有毒氣體氰化氫的玻璃燒瓶和一些放射性物質(zhì)。倘若盒子里的放射性原子發(fā)生了衰變，裝有氰化氫的燒瓶就會被打碎，氰化氫揮發(fā)導(dǎo)致貓隨即死亡；如果放射性物質(zhì)沒有衰變，則不會觸發(fā)打碎燒瓶的裝置，貓能繼續(xù)存活。一個(gè)在盒子之外的觀測者在沒有打開盒子前，無法得知貓的命運(yùn)。因此對于觀測者而言，貓同時(shí)處于生與死的狀態(tài)。由于放射性的量子力學(xué)本質(zhì)，貓的生或死的態(tài)是由量子比特?cái)y帶的；當(dāng)我們打開盒子發(fā)現(xiàn)貓是死是活的概率由|α|2和|β|2給出；一旦盒子被打開，貓的態(tài)就會坍縮成其中的一種）。 大多數(shù)矩陣都有不同的特征矢量，這意味著如果態(tài)是一個(gè)矩陣的特征矢量，它就不太可能是另一個(gè)矩陣的特征矢量。因此如果其中一種測量是確定的，那么另一種測量就變得不確定。 這便是海森堡不確定性原理。它說的是：如果我們對粒子的位置知道的越精確，那么對它的動量就知道的越不精確，反之亦然。 在經(jīng)典力學(xué)中，我們可以同時(shí)精確地知道位置和動量，只有知道這些信息才能預(yù)測粒子未來的演化。但是，在量子力學(xué)中，如果我們知道一個(gè)粒子的位置x，那么就完全無法確定它的動量p，這種關(guān)系可以用式子表示： ΔxΔp≥h^2 其中?≈10-34J?s是普朗克常數(shù)。我們之所以在日常生活在沒有察覺到這些不確定性，是因?yàn)?太小了。其他的可觀察量也存在著類似的不確定性關(guān)系。 第二步是構(gòu)造了基于量子力學(xué)五條假設(shè)上的抽象希爾伯特空間，并證明海森堡和薛定諤的原子狀態(tài)定義滿足五條假設(shè)。 第三步是構(gòu)造了量子力學(xué)的形式語言：由抽象希爾伯特空間的向量(代表系統(tǒng)狀態(tài))、泛函算子(代表系統(tǒng)中的可觀察量)及其代數(shù)規(guī)則構(gòu)成（馮·諾伊曼將諾特和阿廷的非交換代數(shù)理論有關(guān)概念擴(kuò)展到希爾伯特空間上的算子代數(shù)中，由此產(chǎn)生了“算子環(huán)”的概念，算子環(huán)是有限維空間內(nèi)矩陣代數(shù)的自然推廣，這就是著名的馮·諾伊曼代數(shù)）。 這三步工作建立了量子力學(xué)的公理化綱領(lǐng)，完成了量子力學(xué)數(shù)學(xué)化，使馮·諾伊曼推動了希爾伯特空間的算子理論的發(fā)展，在1927年左右，馮·諾伊曼首先給出了希爾伯特空間的抽象定義（也是現(xiàn)在泛函分析教材所使用的定義），并把希爾伯特空間上自共軛算子譜理論從有界推廣到無界，引入稠定閉算子的概念，給出無界自共軛算子、酉算子以及正規(guī)算子的譜分解定理，指出了對稱算子和自共軛算子在性質(zhì)上的差異，還與外爾共同研究了無界算子經(jīng)過擾動后譜的變化規(guī)律。（這些在量子力學(xué)上做的工作，奠定了譜理論的形成，加上1933年巴拿赫所著《線性算子理論》(Th orie des operations li naires)，標(biāo)志著泛函分析的誕生）。 第四步是馮·諾伊曼用概率論對量子力學(xué)進(jìn)行分析，引入統(tǒng)計(jì)矩陣U(現(xiàn)稱為ρ矩陣)來描述各種量子狀態(tài)的系統(tǒng)之集合，統(tǒng)計(jì)矩陣成為量子統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要工具，為現(xiàn)代熱力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。 1932年，馮·諾伊曼的名著《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》由德國斯普林格公司出版，在這本書中指出，狄拉克等人在處理算子的概念時(shí)，對其定義域和拓?fù)洳⑽从枰猿浞挚紤]，草率地假設(shè)當(dāng)算子為自共軛時(shí)，總可以被對角化，而對于無法對角化的，則引入狄拉克非正常函數(shù)(δ函數(shù))的概念，馮·諾伊曼發(fā)現(xiàn)了它的自相矛盾，并證明：變換理論能夠建立在清晰的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，其方法并非去修正狄拉克的理論，而是發(fā)展希爾伯特的算子理論。當(dāng)他成功地將算子譜論由有界推廣到無界情形后，便最終完成了量子力學(xué)的形式化工作，它包含海森堡和薛定諤等人的體系作為特殊情況。并從統(tǒng)計(jì)學(xué)角度闡述了量子力學(xué)中的因果律和測不準(zhǔn)原理：量子系統(tǒng)的不確定性并非由于觀察者的狀態(tài)未知所致，即使在系統(tǒng)中引入假想的隱參量，使觀察者處于精確的狀態(tài)，最終仍會因?yàn)橛^察者的主觀意識而導(dǎo)致不確定的觀察結(jié)果。并給出了遍歷假設(shè)在量子系統(tǒng)中的表述和證明（這是遍歷理論的奠基）。 《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(德文版)先后被譯為法文(1947年)、西班牙文(1949年)、英文(1955年)和日文，它至今仍是理論物理領(lǐng)域的經(jīng)典之作。 其實(shí)我認(rèn)為量子力學(xué)創(chuàng)立人應(yīng)該包括馮·諾伊曼，只是物理學(xué)家不想被數(shù)學(xué)家搶飯碗，一直裝聾作啞，事實(shí)上現(xiàn)代量子力學(xué)的框架還是馮·諾伊曼創(chuàng)立的。物理學(xué)家被數(shù)學(xué)家搶飯碗的事情經(jīng)常發(fā)生，例如諾特（德國女抽象代數(shù)學(xué)家）證明的偉大定理：一個(gè)對稱的物理系統(tǒng)必然有一一對應(yīng)的守恒量（不變量）（簡單描述就是：連續(xù)對稱性和守恒定律的一一對應(yīng)。諾特定理對于所有基于作用量原理的物理定律都是成立的。諾特定理和量子力學(xué)深刻相關(guān)，通過諾特定理，僅用經(jīng)典力學(xué)的原理就可以認(rèn)出和海森堡測不準(zhǔn)原理相關(guān)的物理量（譬如位置和動量）。諾特定理解釋了物理系統(tǒng)對于空間平移的不變性，也即物理定律不隨著空間中的位置而變化，給出了線性動量的守恒律；對于轉(zhuǎn)動的不變性給出了角動量的守恒律；對于時(shí)間平移的不變性給出了著名的能量守恒定律。在量子場論中，諾特定理產(chǎn)生出更多的守恒定律，例如從電勢和向量勢的規(guī)范不變性得出電荷的守恒）。楊振寧李政道獲諾貝爾獎(jiǎng)的工作，就是基于這個(gè)基礎(chǔ)，實(shí)際上量子場論也離不開這個(gè)定理，現(xiàn)在的凝聚態(tài)的物理也離不開。 以上內(nèi)容可以參考馮·諾伊曼的名著《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。 最后再廢話一句，學(xué)習(xí)量子力學(xué)，如果不能用泛函分析和群論作為基礎(chǔ)工具，最多能夠?qū)W到《十萬個(gè)為什么》水平?，F(xiàn)在很多大學(xué)的量子力學(xué)老師也就是《十萬個(gè)為什么》水平。 泛函分析主題分為無限維空間的幾何（包括度量空間；巴拿赫空間和希爾伯特空間）；無窮維空間代數(shù)（包括線性算子；線性算子譜）；巴拿赫代數(shù)和廣義函數(shù)。 泛函分析的應(yīng)用主要在偏微分方程解的存在性和唯一性證明，數(shù)值解構(gòu)造；最優(yōu)控制的極大值計(jì)算；小波分析的基構(gòu)造；傅立葉變換和有限元計(jì)算五個(gè)方面上。 本來上述主題都可以寫一點(diǎn)科普的，但是帖子太長了，以后有機(jī)會再慢慢寫吧。 最后，把介紹過的數(shù)學(xué)帖子羅列一下： 介紹數(shù)學(xué)是為了介紹思維方式https://www.douban.com/group/topic/96711443/ 瞎扯現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)https://www.douban.com/group/topic/83808893/ 瞎扯數(shù)學(xué)分析1、微積分https://www.douban.com/group/topic/96542437/ 瞎扯數(shù)學(xué)分析2：實(shí)變函數(shù)鳥瞰https://www.douban.com/group/topic/130968109/ 瞎扯伽羅華群論思想https://www.douban.com/group/topic/95244972/ 瞎扯貝葉斯理論的基本思想https://www.douban.com/group/topic/82509566/ 復(fù)雜系統(tǒng)理論簡介https://www.douban.com/group/topic/79539691/ 外行瞎扯人工智能https://www.douban.com/group/topic/84570941/ 哈密頓原理能不能用于人生路徑優(yōu)化選擇？https://www.douban.com/group/topic/102217272/ 用剪羊毛最簡單模型來直觀解釋明朝晚期問題https://www.douban.com/group/topic/78333278/ 為什么用簡單規(guī)則就可以凝聚人心https://www.douban.com/group/topic/79621229/ 以螞蟻算法為例說明簡單規(guī)則在復(fù)雜系統(tǒng)里的力量https://www.douban.com/group/topic/79487681/ 管理科學(xué)發(fā)展史簡介https://www.douban.com/group/topic/79835542/ 管理科學(xué)中的系統(tǒng)分析https://www.douban.com/group/topic/79882697/ 管理科學(xué)的定義https://www.douban.com/group/topic/79759824/ 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)課程表https://www.douban.com/group/topic/79922278/ 最后再說一句，不了解數(shù)學(xué)，并不會影響你的生活，但是當(dāng)陷入問題叢林中時(shí)，知道一點(diǎn)數(shù)學(xué)思想，就像手中有一把大砍刀，顯然比赤手空拳走出問題叢林的概率大一些。學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)，可以建立化繁為簡，分而治之，抽象類比，抓住本質(zhì)的能力，可以一針見血找到問題關(guān)鍵，而不會被云山霧罩蒙蔽。 我認(rèn)為任何的理論突破和技術(shù)創(chuàng)新，它必須超過前人對世界本質(zhì)的認(rèn)識或者技術(shù)上集大成，或者工藝上根本突破，所以任何理論突破或創(chuàng)新，在思想難度上，技術(shù)復(fù)雜度上都必須超越以前。 順便再說一句，我不推薦一般人把數(shù)學(xué)當(dāng)成職業(yè)，除非有超常的數(shù)學(xué)天賦或家里有礦，不然還是學(xué)點(diǎn)便于謀生的職業(yè)，當(dāng)然可以學(xué)點(diǎn)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)，然后轉(zhuǎn)計(jì)算機(jī)，金融，工程，管理，管理信息系統(tǒng)之類謀生容易的專業(yè)，其實(shí)這幾十年來，，大學(xué)數(shù)學(xué)系畢業(yè)生最主要的出路是當(dāng)中學(xué)數(shù)學(xué)老師，中學(xué)老師有兩大弊病，一個(gè)是上升的上限太低，很容易就到天花板，無路可去，第二個(gè)是容易消磨人的斗志，安于現(xiàn)狀，不求進(jìn)取，混日子。人想有點(diǎn)成就，還是需要玩命和冒險(xiǎn)精神的，穩(wěn)定的生活對年輕人是謀殺前途的。 |
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