共邊共角型

命名：共用一條邊OB,共用一個角∠AOB.

簡稱：共邊共角型

模型引入：共邊共角型是“不平行A字型”（鏈接：手拉手旋轉(zhuǎn)型相似）的特殊情況.當(dāng)D點運動到B點時即為“共邊共角型”.

共邊共角型相似

模型分析：在共邊共角型的條件下，如果再有一組角相等，兩三角形相似，稱之為“共邊共角型相似”。通過上面動態(tài)幾何直觀圖，可以發(fā)現(xiàn)“共邊共角型相似”通過翻折、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為：平行A字型（鏈接：手拉手旋轉(zhuǎn)型相似）。

共邊共角型相似常見于幾何綜合題中，尤其在幾何壓軸題中，出現(xiàn)頻率不低于四點共圓。這個模型不僅要熟悉模型圖，熟練作圖關(guān)，還要熟記模型的結(jié)論。觀察結(jié)論的特點（對應(yīng)線段成比例且屬于比例中項型結(jié)論），有時候題目中會給出三角形邊的乘積關(guān)系或者比例中項關(guān)系，要能快速判斷出與之對應(yīng)的相似模型，找到題中的相似三角形.

共邊共角型相似基本圖

一般三角形

條件：∠OAB=∠OBC.

結(jié)論：△OBC～△OAB.（OB是OC和OA的比例中項）

小結(jié)：這也是初中階段證明線段比例中項式的典型模型.

比例中項型結(jié)論:共邊OB的平方等于較小邊OC與較長邊OA的乘積.

特殊三角形：直角三角形

當(dāng)D點運動到C點時即為直角三角形的“共邊共角型”.

模型分析：直角三角形作斜邊上的高，形成的兩個較小三角形與大三角形相似（共邊共角型相似）

條件：CD為直角三角形ABC斜邊上的高.

結(jié)論：△ADC～△ACB～△CDB.

射影定理（歐幾里德定理）

在直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊射影的比例中項，每一條直角邊又是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

雙重共邊共角型相似

條件：等腰△ABC,AB=AC,∠MAN=∠B=∠C.

結(jié)論：△AMN～△CMA～△BNA;

△ABN中有共邊共角型相似：△ANM～△BNA;

△AMC中有共邊共角型相似：△AMN～△CMA.

通過翻折對稱、旋轉(zhuǎn)可得到平行A字型相似.

共邊共角三等腰：

1.頂角為36°的等腰三角形

條件：AB=AC,∠A=36°,BD為角平分線.

結(jié)論：△ABC、△BCD、△ABD為等腰三角形;

△BCD～△ABC.（BC是CD和AC的比例中項）

小結(jié)：D點為黃金分割點.

2.底角為36°的等腰三角形

條件：AB=AC,∠BAD=∠B=36°.

結(jié)論：△ABC、△ACD、△ABD為等腰三角形;

△ABD～△BCA.（AB是BD和BC的比例中項）

小結(jié)：D點為黃金分割點.