常見分布總結(jié)

lhbsd 2022-09-07 發(fā)布于廣東

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概率分布
概率分布是指用于表述隨機變量取值的概率規(guī)律，包括連續(xù)分布和離散分布。
下面作了這些概率分布的一個思維導(dǎo)圖。

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文章目錄

概率分布

1、離散概率分布

1.1、兩點分布

意義：指的是一次實驗中有兩個事件，成功或者失敗，出現(xiàn)的概率記為p，1-p。
分布律：

數(shù)字特征：

舉例：比如一個口袋中有十個球，其中紅球3個，白球7個，問從中取到紅球的概率？
f=0.3¹ ×0.7⁰=0.3

2.2、二項分布

意義：兩點分布獨立重復(fù)n次，則實驗成功的次數(shù)服從一個參數(shù)為(n,p)的二項分布
分布律：

或者

數(shù)字特征：

舉例：比如一個口袋中有100個球，其中紅球30個，白球70個，重復(fù)有放回地取30次，其中有10次取到紅球的概率？
f=C₃₀¹⁰ (0.3)¹⁰*(0.7)²⁰

1.3、幾何分布

其中一種定義為：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率。詳細(xì)的說是：前k-1次皆失敗，第k次成功的概率。
分布律：

數(shù)字特征：

舉例：比如一個口袋中有100個球，其中紅球30個，白球70個，第10次取到紅球的概率？
f=0.3×0.7⁹

1.4、超幾何分布

定義：它描述了從有限N個物件中抽出n個物件，成功抽出該指定種類的物件的次數(shù)
在產(chǎn)品質(zhì)量的不放回抽檢中，若N件產(chǎn)品中有M件次品，抽檢n件時所得次品數(shù)X=k，則

數(shù)字特征：

1.5、泊松分布

泊松分布是經(jīng)濟生活中一種非常重要的分布形式，在生活中有很多應(yīng)用，如：物料訂單的規(guī)劃，道路交通信號燈的設(shè)計，生產(chǎn)計劃的安排，海港發(fā)貨船期的調(diào)度。
分布律：

數(shù)字特征

例子：
1、通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為p=0.0001，假設(shè)在某路段時間內(nèi)有1000輛汽車通過此路口，則求此時間段內(nèi)發(fā)生交通事故次數(shù)X的概率分布。

通過路口的1000輛車是否發(fā)生交通事故，可以看成n=1000次伯努利試驗，所以X服從二項分布，由于n=1000很大，p=0.0001很小，且np=0.1，所以X服從泊松分布，

此段時間內(nèi)發(fā)生兩次交通事故為：

2、連續(xù)概率分布

2.1、均勻分布

在概率論和統(tǒng)計學(xué)中，均勻分布也叫矩形分布，它是對稱概率分布，在相同長度間隔的分布概率是等可能的。均勻分布由兩個參數(shù)a和b定義，它們是數(shù)軸上的最小值和最大值，通常縮寫為U（a，b）
密度函數(shù)：

數(shù)字特征：

例：設(shè)電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在900ΩΩ~ 1100ΩΩ.求R概率密度及R落在950ΩΩ~1050ΩΩ的概率。
解：R的概率密度為

因此：

2.2、正太分布

正態(tài)分布（Normal distribution），也稱“常態(tài)分布”，又名高斯分布。
若隨機變量X服從一個數(shù)學(xué)期望為μ、方差為σ²的正態(tài)分布，記為N(μ， σ²)。
其概率密度函數(shù)為正態(tài)分布的期望值μ決定了其位置，其標(biāo)準(zhǔn)差σ決定了分布的幅度。
當(dāng)μ = 0,σ = 1時的正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。
密度函數(shù)：

數(shù)字特征

正太曲線的性質(zhì)：
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2.3、beta分布

貝塔分布（Beta Distribution) 是一個作為伯努利分布和二項式分布的共軛先驗分布的密度函數(shù)。
在概率論中，貝塔分布，也稱Β分布，是指一組定義在(0,1) 區(qū)間的連續(xù)概率分布。

我們先來舉個例子，一個袋子里面有很多球，我們不知道球的個數(shù)只知道球的顏色（紅，白），我們現(xiàn)在從中取出一個球（二次實驗），根據(jù)先驗經(jīng)驗我們猜測紅白概率為（0.5，0.5），服從兩點分布。那么我們開始有放回地從中抽取100次（多次二項試驗），得到紅球為70次，黃球為30次，這時候我們又重新猜測紅白概率（0.7，0.3）。那么如果我們再將上面試驗做150次，即重復(fù)150次的多次二次實驗，最后得到紅白概率為{0.7,0.3}這樣概率為多少？這就是beta分布。

函數(shù)密度：

數(shù)字特征：

2.4、柯西分布

柯西分布主要應(yīng)用于物理中，它是描述受迫共振的微分方程的解。在光譜學(xué)中，它用來描述被共振或者其他機制加寬的譜線形狀。
密度函數(shù)：

數(shù)字特征：均值和方差不存在

2.5、卡方分布

若n個相互獨立的隨機變量ξ?，ξ?，…,ξn ，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（也稱獨立同分布于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布），則這n個服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的平方和構(gòu)成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布

密度函數(shù)：

數(shù)字特征：