數(shù)學(xué)的盡頭是邏輯

集合學(xué)作為數(shù)學(xué)基石的重要之處是毋庸置疑的，但是在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不管是老師還是學(xué)生似乎很難意識(shí)到集合所起到的基石作用。

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)說(shuō)，所有的數(shù)學(xué)學(xué)科都可以用“集合語(yǔ)言”進(jìn)行刻畫，在集合語(yǔ)言的描述之下，每個(gè)科目都變得非常的清晰。不管是變量的變化范圍，還是函數(shù)的定義域、值域，以及事物與事物之間的關(guān)系，使用集合語(yǔ)言總是那么精準(zhǔn)、便利。

 可是對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，集合作為語(yǔ)言往往很難入門，很容易把集合當(dāng)做類似于算術(shù)中的計(jì)算，忽視集合背后的思維習(xí)慣。

初學(xué)者，往往會(huì)把集合當(dāng)作一個(gè)最新的事物移植到腦海中，但是此時(shí)此刻學(xué)生的思維語(yǔ)言并不是集合語(yǔ)言，而是日常語(yǔ)言。更有甚者是沒(méi)有掌握邏輯的最為基礎(chǔ)的日常語(yǔ)言。在以這種缺乏邏輯的日常語(yǔ)言作為底層語(yǔ)言進(jìn)行思維的時(shí)候，不僅僅很難使用集合語(yǔ)言進(jìn)行下一步的學(xué)習(xí)，甚至集合本身的學(xué)習(xí)都會(huì)帶來(lái)一些問(wèn)題。

由于集合學(xué)習(xí)涉及到最為底層的語(yǔ)言和邏輯，很多數(shù)學(xué)老師包括學(xué)習(xí)者都很難了解到集合中的一些證明方法，更難以發(fā)現(xiàn)集合學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題背后深層次原因。

比如說(shuō)，有學(xué)生證明集合的交換律的時(shí)候，是這樣證明的：

可以看到，這位學(xué)生并沒(méi)有弄清楚邏輯詞“或”的作用，或者說(shuō)沒(méi)有把邏輯轉(zhuǎn)化“集合語(yǔ)言”，在數(shù)學(xué)中有很多符號(hào)來(lái)表示邏輯關(guān)系的，比如說(shuō)集合中的“”表示“或和且”，方程中的“大括號(hào)”表示邏輯詞“且”。

在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們很多同學(xué)看到教材或者習(xí)題呈現(xiàn)出來(lái)的信息的時(shí)候，往往不重視這些表示“邏輯詞”的符號(hào)，以至于對(duì)得到的信息進(jìn)行處理的時(shí)候沒(méi)有按照邏輯的方式構(gòu)建各個(gè)信息之間的關(guān)系，對(duì)這些符號(hào)的忽視或者說(shuō)無(wú)視在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)中非常常見，也給學(xué)生的學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決帶來(lái)了很大的困難和障礙。

弄清楚教材和習(xí)題中信息之間的關(guān)系并轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言才能夠高效地進(jìn)行相對(duì)于的分析推理和計(jì)算，可惜的是我們的教學(xué)和學(xué)習(xí)注重到了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的高效，卻忽視了“日常語(yǔ)言”向“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”的轉(zhuǎn)化，如果無(wú)法或者不容易把日常語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，在實(shí)際問(wèn)題中利用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題就成為空談了。

這里所說(shuō)的數(shù)學(xué)的盡頭是邏輯，除了集合語(yǔ)言的構(gòu)建和邏輯密不可分之外，還說(shuō)明邏輯是認(rèn)識(shí)外部世界和解決問(wèn)題的最基本最底層的思維形式，數(shù)學(xué)語(yǔ)言則在這個(gè)基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，可是這個(gè)更進(jìn)一步并沒(méi)有“日常語(yǔ)言”那么自然，若被忽視很容易出現(xiàn)各種各樣學(xué)習(xí)障礙和困難。