IIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)（C語言）

XeonGate 2022-12-07 發(fā)布于江蘇

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　一般濾波器可以分為經(jīng)典濾波器和數(shù)字濾波器。

經(jīng)典濾波器：假定輸入信號(hào)中的有用成分和希望去除的成分各自占有不同的頻帶。如果信號(hào)和噪聲的頻譜相互重迭，經(jīng)典濾波器無能為力。比如 FIR 和 IIR 濾波器等。　　
現(xiàn)代濾波器：從含有噪聲的時(shí)間序列中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身?，F(xiàn)代濾波器將信號(hào)和噪聲都視為隨機(jī)信號(hào)。包括 Wiener Filter、Kalman Filter、線性預(yù)測器、自適應(yīng)濾波器等

Z變換和差分方程

　　在連續(xù)系統(tǒng)中采用拉普拉斯變換求解微分方程，并直接定義了傳遞函數(shù)，成為研究系統(tǒng)的基本工具。在采樣系統(tǒng)中，連續(xù)變量變成了離散量，將Laplace變換用于離散量中，就得到了Z變換。和拉氏變換一樣，Z變換可用來求解差分方程，定義Z傳遞函數(shù)成為分析研究采樣系統(tǒng)的基本工具。

　　對(duì)于一般常用的信號(hào)序列，可以直接查表找出其Z變換。相應(yīng)地，也可由信號(hào)序列的Z變換查出原信號(hào)序列，從而使求取信號(hào)序列的Z變換較為簡便易行。

　　Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理：

線性定理

　　設(shè)a，a₁，a₂為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)，f₁(t)，f₂(t)的Z變換分別為F(z)，F(xiàn)₁(z)，F(xiàn)₂(z)，則有

Z [a f (t)] = a F (z)

Z [a_{1} f_{1} (t) + a_{2} f_{2} (t)] = a_{1} F_{1} (z) + a_{2} F_{2} (z)

滯后定理

　　設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在t<0時(shí)，f(t)=0，且f(t)的Z變換為F(z)，則有

Z [f (t - k T)] = z^{- k} F (z)

　　應(yīng)用Z變換求解差分方程的一個(gè)例子：已知系統(tǒng)的差分方程表達(dá)式為$y(n)-0.9y(n-1)=0.05u(n)$，若邊界條件$y(-1)=1$，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)。

　　解：方程兩端取z變換

Y (z) - 0.9 [z^{- 1} Y (z) + y (- 1)] = 0.05 \frac{z}{z - 1} Y (z) = \frac{0.05 z^{2}}{(z - 1) (z - 0.9)} + \frac{0.9 y (- 1) z}{z - 0.9}

　　可得

\frac{Y (z)}{z} = \frac{A_{1} z}{z - 1} + \frac{A_{2} z}{z - 0.9}

　　其中A₁=0.5，A₂=0.45，于是$y(n)=0.5+0.45 \times(0.9)^n \quad(n\geq0)$

IIR數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)

　　 IIR數(shù)字濾波器是一類遞歸型的線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其差分方程可以寫為：

y (n) = \sum_{i = 0}^{M} a_{i} x (n - i) + \sum_{i = 1}^{N} b_{i} y (n - i)

　　進(jìn)行Z變換，可得：

Y (z) = \sum_{i = 0}^{M} a_{i} z^{- i} X (z) + \sum_{i = 1}^{N} b_{i} z^{- i} Y (z)

　　于是得到IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

H (z) = \frac{Y (z)}{X (z)} = \frac{\sum_{i = 0}^{M} a_{i} z^{- i}}{1 - \sum_{i = 1}^{N} b_{i} z^{- i}} = a_{0} \frac{\prod_{i = 1}^{M} (1 - c_{i} z^{- 1})}{\prod_{i = 1}^{N} (1 - d_{i} z^{- 1})}

　　其中c_i為零點(diǎn)而d_i為極點(diǎn)。H(z)的設(shè)計(jì)就是要確定系數(shù)、或者零極點(diǎn)，以使濾波器滿足給定的性能指標(biāo)。

IIR數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)

　　數(shù)字濾波器的功能本質(zhì)上是將一組輸入數(shù)字序列通過一定的運(yùn)算后轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪唤M輸出數(shù)字序列。濾波器系統(tǒng)函數(shù)可以表達(dá)為多種不同的形式，每一種對(duì)應(yīng)著不同的算法，也就對(duì)應(yīng)著不同的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)。例如：

H (z) = \frac{1}{1 - 0.3 z^{- 1} - 0.4 z^{- 2}}

　　可以分解為：

H (z) = \frac{1}{1 - 0.8 z^{- 1}} \cdot \frac{1}{1 + 0.5 z^{- 1}}

　　或

H (z) = \frac{0.6154}{1 - 0.8 z^{- 1}} + \frac{0.3846}{1 + 0.5 z^{- 1}}

　　上述同一系統(tǒng)的三種不同描述形式就對(duì)應(yīng)了不同的實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)，或者說不同的濾波器結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)相同的傳遞函數(shù)。IIR濾波器常見的結(jié)構(gòu)形式有直接Ⅰ型、直接Ⅱ型（典范型）、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型。通過差分方程能夠畫出包含反饋結(jié)構(gòu)的數(shù)字網(wǎng)絡(luò)稱為直接型。

　　直接Ⅰ型濾波器的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)可以根據(jù)差分方程很直觀地畫出（The Direct-Form I structure implements the feed-forward terms first followed by the feedback terms）：

　　可以看出直接Ⅰ型濾波器需要N+M個(gè)延時(shí)單元（N≥M）。直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)是對(duì)直接Ⅰ型的變型，將上面網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的級(jí)聯(lián)次序互換，并將延時(shí)單元合并。實(shí)現(xiàn)N階濾波器只需要N個(gè)延時(shí)單元（The Direct-Form II structure uses fewer delay blocks than Direct-Form I），故稱為典范型。

　　直接Ⅱ型看上去不那么直觀，可以通過下圖進(jìn)行理解。我們可以將整個(gè)濾波器系統(tǒng)看成A、B兩個(gè)子系統(tǒng)串聯(lián)而成，由于為線性系統(tǒng)因此交換順序不影響最終輸出結(jié)果，傳遞函數(shù)可寫為：

H (z) = B (z) \cdot \frac{1}{A (z)} = \frac{1}{A (z)} \cdot B (z)

　　直接型優(yōu)點(diǎn)：直接型結(jié)構(gòu)簡單，用的延遲器較少（N和M中較大者的個(gè)數(shù)）；缺點(diǎn)：系數(shù)a_k，b_k對(duì)濾波器性能的控制關(guān)系不直接，因此調(diào)整不方便；具體實(shí)現(xiàn)濾波器時(shí)a_k，b_k的量化誤差將使濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生很大的改變，甚至影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。直接型結(jié)構(gòu)一般用于實(shí)現(xiàn)低階系統(tǒng)。

　　級(jí)聯(lián)型：將系統(tǒng)傳遞函數(shù)H(z)因式分解為多個(gè)二階子系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)就可以表示為這些二階子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的乘積。實(shí)現(xiàn)時(shí)將每個(gè)二階子系統(tǒng)用直接型實(shí)現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)用二階環(huán)節(jié)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)。

　　并聯(lián)型：與級(jí)聯(lián)型類似，用部分分式展開法將系統(tǒng)函數(shù)表示為二階子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的和。每個(gè)二階子系統(tǒng)仍然用直接型實(shí)現(xiàn)，整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)用二階環(huán)節(jié)的并聯(lián)實(shí)現(xiàn)。

　　在IIR濾波器設(shè)計(jì)過程中，通常利用模擬濾波器來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，要先根據(jù)濾波器的性能指標(biāo)設(shè)計(jì)出相應(yīng)的模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)，然后由H(s)經(jīng)變換得到所需要的數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。常用的變換方法有沖激響應(yīng)不變法和雙線性變換法。下面使用MATLAB等工具直接生成數(shù)字濾波器系數(shù)：

　　在MATLAB命令行中輸入fdatool打開濾波器設(shè)計(jì)工具箱，為了便于分析，我們先從設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的2階低通濾波器。Design Method用于選擇IIR濾波器還是FIR濾波器，這里我們選擇IIR濾波器，類型選擇Butterworth，當(dāng)然也可以選擇其他類型，不同類型的頻率響應(yīng)不同，選擇后默認(rèn)的濾波器結(jié)構(gòu)是直接II型。ResponseType用于選擇低通、高通、帶通、帶阻等類型，選擇低通濾波“Lowpass”。Frequency Specifications用于設(shè)置采樣頻率以及截止頻率，這里填入200以及20，即采樣率為200Hz，20Hz以上的頻率將被濾除掉。Fiter Order 選擇濾波器階數(shù)，為了簡單起見，先選擇一個(gè)2階濾波器做實(shí)驗(yàn)。

　　參數(shù)設(shè)置好后點(diǎn)擊Design filter按鈕，將按要求設(shè)計(jì)濾波器。默認(rèn)生成的IIR濾波器類型是Direct-Form II,Second-Order Sections（直接Ⅱ型，每個(gè)Section是一個(gè)二階濾波器），在工具欄上點(diǎn)擊Filter Coefficients圖標(biāo)或菜單欄上選擇Analysis→Filter Coefficients可以查看生成的濾波器系數(shù)。

　　MATLAB中二階濾波器差分方程公式如下（注意反饋項(xiàng)符號(hào)為負(fù)號(hào)）：

y [n] = b_{0} \cdot x [n] + b_{1} \cdot x [n - 1] + b_{2} \cdot x [n - 2] - a_{1} \cdot y [n - 1] - a_{2} \cdot y [n - 2]

　　高階IIR濾波器的實(shí)現(xiàn)是采用二階濾波器級(jí)聯(lián)的方式來實(shí)現(xiàn)的。默認(rèn)情況下，F(xiàn)ilter Coefficients把結(jié)果分成多個(gè)2階Section顯示，其中還有增益。增益的目的是為了保證計(jì)算的精度和系統(tǒng)的穩(wěn)定性。選擇[edit]→[Convert to Single Section]，這時(shí)候系數(shù)變成我們熟悉的形式：

　　按照上面的公式，濾波器差分方程為：y[n] = 0.06745527*x[n] + 0.134910547*x[n-1] + 0.06745527*x[n-2] - (-1.1429805025)*y[n-1] - (0.412801596)*y[n-2]

　　濾波器設(shè)計(jì)完成后還可以生成Simulink模型進(jìn)行仿真：按照下圖中數(shù)字標(biāo)號(hào)進(jìn)行，第一步點(diǎn)擊左邊Realize Model圖標(biāo)，第二步勾選“Build model using basic elements”這一項(xiàng)，右邊四個(gè)灰色的項(xiàng)將自動(dòng)打鉤，最后點(diǎn)擊“Realize Model”，matlab將自動(dòng)生成濾波器模型，在彈出的窗口中雙擊模型可以觀察該模型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

　　下面是按照設(shè)計(jì)要求生成的2階濾波器直接Ⅰ型的結(jié)構(gòu)：

　　Direct-Form I

　　下面是直接Ⅱ型的內(nèi)部結(jié)構(gòu)：

Direct-Form II

　　使用生成的濾波器搭建一個(gè)簡答的測試模型：將兩個(gè)幅值為1，頻率分別為10Hz、50Hz的正弦波疊加，輸入濾波器后觀察濾波前后的波形。仿真時(shí)間設(shè)為1s，仿真參數(shù)中求解器類型設(shè)為固定步長，求解器選擇discrete（它適用于離散無連續(xù)狀態(tài)的系統(tǒng)），步長設(shè)為0.005s（200Hz）

　　點(diǎn)擊Run按鈕開始進(jìn)行仿真：

　　打開示波器結(jié)果如下圖所示：上面一欄是不同頻率疊加的波形，下面是10Hz正弦波和濾波后得到的波形的對(duì)比。由于50Hz正弦波頻率高于濾波器截止頻率20Hz，因此被濾除，同時(shí)濾波也產(chǎn)生了一定的滯后和失真。

　　知道了差分方程的形式并通過MATLAB得到濾波器系數(shù)后很容易寫出相應(yīng)的代碼來實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波，另外還有一個(gè)網(wǎng)站能根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)直接生成C代碼：http://www-users.cs./~fisher/mkfilter/

　　根據(jù)前面的設(shè)計(jì)指標(biāo)，在網(wǎng)頁上填入相應(yīng)參數(shù)后提交，會(huì)得到下面的C語言代碼。簡單修改后就可以使用：

#define NZEROS 2
#define NPOLES 2
#define GAIN   1.482463775e+01

static float xv[NZEROS+1], yv[NPOLES+1];

static void filterloop()
{ 
　　for (;;)
   {
　　　　 xv[0] = xv[1]; xv[1] = xv[2]; 
        xv[2] = next input value / GAIN;
        yv[0] = yv[1]; yv[1] = yv[2]; 
        yv[2] =   (xv[0] + xv[2]) + 2 * xv[1] + ( -0.4128015981 * yv[0]) + (  1.1429805025 * yv[1]);
        next output value = yv[2];
    }
}

　　在LabVIEW中為了自己實(shí)現(xiàn)IIR濾波器可以使用反饋結(jié)點(diǎn)來存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，下面的程序框圖實(shí)現(xiàn)了與MATLAB模型相同的功能：

　　前面板波形圖如下圖所示：

參考：

Butterworth / Bessel / Chebyshev Filters

ARM官方DSP庫IIR濾波器的實(shí)現(xiàn)(STM32)

ARM官方DSP庫濾波器基礎(chǔ)知識(shí)

手把手教你用matlab生成STM32官方IIR濾波器的系數(shù)(二)

手把手教你用matlab生成STM32官方IIR濾波器的系數(shù)(三)

A Collection of Useful C++ Classes for Digital Signal Processing

數(shù)字濾波器

IIR Filters

簡單常用濾波算法C語言實(shí)現(xiàn)

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IIR數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)（C語言）