本文主要內(nèi)容為《線性代數(shù)的本質(zhì)》學(xué)習(xí)筆記，內(nèi)容和圖片主要參考 學(xué)習(xí)視頻 ,感謝3Blue1Brown對(duì)于本視頻翻譯的辛苦付出。有的時(shí)候跟不上字幕，所有在這里有些內(nèi)容參考了此篇博客。在這里我主要記錄下自己覺(jué)得重要的內(nèi)容以及一些相關(guān)的想法，希望能與大家多多交流~ 
??本節(jié)內(nèi)容對(duì)應(yīng)視頻的“00. 序言”、“01. 向量究竟是什么”、“02. 線性組合、張成的空間與基”和“03. 矩陣與線性變換”這四節(jié)的內(nèi)容。

0. 序言

??線性代數(shù)具有代數(shù)含義和幾何含義兩個(gè)方面。代數(shù)含義學(xué)過(guò)線性代數(shù)的大家都很清楚，但是幾何水平上的理解能夠讓你判斷出解決特定問(wèn)題需要用什么樣的工具，感受它們?yōu)槭裁从杏靡约叭绾谓庾x最終結(jié)果，也就是所謂線性代數(shù)的本質(zhì)。

1. 向量究竟是什么

??不同的專(zhuān)業(yè)對(duì)于向量有著不同的理解，如圖1 所示 

圖1. 理解向量的三個(gè)方面

圖1 中從左向右依次為，物理專(zhuān)業(yè)：向量是空間中的箭頭，由長(zhǎng)度和方向決定?？梢宰杂梢苿?dòng)；數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)：向量可以是任何東西，只保證向量加法和數(shù)乘運(yùn)算有意義；計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)：向量是有序的數(shù)字列表，起始點(diǎn)在原點(diǎn)上。

??實(shí)際上可以用計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的方式對(duì)對(duì)物理專(zhuān)業(yè)的表達(dá)方式進(jìn)行解釋?zhuān)瑪?shù)字列表中上面表示沿著X軸走了多遠(yuǎn)，下面表示沿著y軸走了多遠(yuǎn)，每一對(duì)數(shù)與一個(gè)向量一一對(duì)應(yīng)。所以向量的加法，向量的移動(dòng)，可以看做數(shù)軸上加法的拓展；向量的數(shù)乘，對(duì)向量進(jìn)行拉伸或者壓縮，稱(chēng)為縮放。

2. 線性組合、張成的空間與基

??在空間中選取一對(duì)特殊的向量 i,j作為空間的基，將每個(gè)坐標(biāo)看做標(biāo)量，表示如何拉伸或者壓縮一個(gè)向量。

??如下圖所示，當(dāng)你思考一個(gè)向量的時(shí)候，使用物理的那種帶箭頭的方式；當(dāng)考慮多個(gè)向量的時(shí)候，就把他們都看作點(diǎn)。 

 
圖 2 用箭頭表示向量與用點(diǎn)來(lái)表示向量

這樣可以不用考慮箭頭，而只需要考慮一個(gè)無(wú)限大的平面，如下圖所示 

圖3. 實(shí)際需要考慮的二維空間的表達(dá)形式

??所有可以表示為給定向量線性組合的向量集合被稱(chēng)為給定向量張成的空間。對(duì)于大部分的二維向量，它們張成的空間是所有二維向量的集合，當(dāng)它們共線時(shí)，張成的空間就是終點(diǎn)落在一條直線上的向量的集合。因?yàn)榫€性代數(shù)緊緊圍繞著向量加法和數(shù)乘，所以實(shí)際上向量的張成問(wèn)題是在考慮僅通過(guò)向量加法和數(shù)乘這兩種基礎(chǔ)運(yùn)算，你能獲得的所有可能向量集合是什么。

??兩個(gè)向量在三維空間中往往構(gòu)成的是一個(gè)平面，有的時(shí)候也可能是一個(gè)直線。三個(gè)向量一般在三維空間中張成了整個(gè)三維空間，可以想象一下，兩個(gè)向量已經(jīng)張成了一個(gè)平面，而平面沿著第三個(gè)向量進(jìn)行平移，張成了整個(gè)三維空間。新增的向量如果落在了原有向量張成的空間中，那么這個(gè)向量與原先的向量是線性相關(guān)的；另一方面如果所有向量都給張成的空間增添了新的維度，它們就是線性無(wú)關(guān)的。

??空間的一組基的嚴(yán)格定義是這樣的：張成該空間的一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量的組合。

3. 矩陣與線性變換

??解析“線性變換”這一術(shù)語(yǔ)?！白儞Q”實(shí)際上就是函數(shù)，它接受輸入內(nèi)容并輸出對(duì)應(yīng)結(jié)果，而在線性變換中輸入的是向量，輸出的也是一個(gè)向量，這中間的這個(gè)函數(shù)就是變換矩陣。

??從幾何的角度考慮，線性變換必須滿足兩點(diǎn)要求，首先變換前后直線依舊是直線，其次原點(diǎn)保持不變。值得注意的是不僅僅要考慮水平與豎直的直線變換前后是否依舊是直線，還要考慮對(duì)角線的不是水平的線。如下圖所示 

圖3. 一種線性變換

圖4. 三種非線性變換

從上面的四幅圖可以看出，線性變換應(yīng)該是一種保持網(wǎng)格平行且等距分布的變換。網(wǎng)格平行且等距分布的性質(zhì)有一個(gè)重要的推論就是，某一個(gè)向量在變換前后基向量的的系數(shù)不變，也就是說(shuō)線性變換只是對(duì)基進(jìn)行變換，而不是基的系數(shù)。所以如何用數(shù)值描述線性變換：實(shí)際上只需要記錄兩個(gè)基向量變換前后的位置即可。如下圖所示，為將向量進(jìn)行某一個(gè)角度的旋轉(zhuǎn)之后，求旋轉(zhuǎn)后向量。

通過(guò)上述內(nèi)容我們知道，對(duì)向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)（一種線性變換）實(shí)際上是對(duì)基向量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，而基向量的系數(shù)不變。這里我們假設(shè)未旋轉(zhuǎn)向量的坐標(biāo)為 [ab]，明顯可以看出直角坐標(biāo)系下的基 [10]旋轉(zhuǎn)為 [cosθsinθ]，基 [01]旋轉(zhuǎn)為 [?sinθcosθ]，所以這一過(guò)程可以表示為 

??所以從上式可以看到在原始向量左乘一個(gè)變換矩陣就可以得到變換后的向量坐標(biāo)，注意原始向量是列向量，變換矩陣的每一列代表著變換后基向量的坐標(biāo)，且變換矩陣每一列中從上到下代表坐標(biāo)的次序與原始向量中的次序相同。

??總之，線性變換是一種操縱空間的手段，它保持網(wǎng)格線平行且等距分布，并且保持原點(diǎn)不變。且這種線性變換只需要找到變換之后的基就可以輕松得到，以這些坐標(biāo)為列構(gòu)成的矩陣為我們提供了一種描述線性變換的語(yǔ)言，而矩陣與向量的乘法就是計(jì)算線性變換作用于給定向量的一種途徑。因此每當(dāng)你看到一個(gè)矩陣，你都可以把它解讀為對(duì)空間的一種特定變換。