第二十五周  最大最小問題

專題簡析：

人們碰到的各種優(yōu)化問題、高效低耗問題，最終都表現(xiàn)為數(shù)學(xué)上的極值問題，即小學(xué)階段的最大最小問題。最大最小問題設(shè)計到的知識多，靈活性強(qiáng)，解題時要善于綜合運(yùn)用所學(xué)的各種知識。

例1：

a和b是小于100的兩個不同的自然數(shù)，求的最大值。

根據(jù)題意，應(yīng)使分子盡可能大，使分母盡可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是說，所有的分?jǐn)?shù)再添兩個分?jǐn)?shù)單位就等于1，可見應(yīng)使所求分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位盡可能小，因此a=99

的最大值是=                 

   答：的最大值是。

練習(xí)1：

1、設(shè)x和y是選自前100個自然數(shù)的兩個不同的數(shù)，求的最大值。

2、  a和b是小于50的兩個不同的自然數(shù)，且a＞b，求的最小值。

3、設(shè)x和y是選自前200個自然數(shù)的兩個不同的數(shù)，且x＞y，①求的最大值；②求的最小值。

例2：

有甲、乙兩個兩位數(shù)，甲數(shù)等于乙數(shù)的。這兩個兩位數(shù)的差最多是多少？

甲數(shù)：乙數(shù)=：=7：3，甲數(shù)的7份，乙數(shù)的3份。由甲是兩位數(shù)可知，每份的數(shù)量最大是14，甲數(shù)與乙數(shù)相差4份，所以，甲、乙兩數(shù)的差是14×（7-3）=56

                              答：這兩個兩位數(shù)的差最多是56。

練習(xí)2：

1、有甲、乙兩個兩位數(shù)，甲數(shù)的等于乙數(shù)的。這兩個兩位數(shù)的差最多是多少？

2、甲、乙兩數(shù)都是三位數(shù)，如果甲數(shù)的恰好等于乙數(shù)的。這兩個兩位數(shù)的和最小是多少？

3、加工某種機(jī)器零件要三道工序，專做第一、二、三道工序的工人每小時分別能做48個、32個、28個，要使每天三道工序完成的個數(shù)相同，至少要安排多少工人？

例3：

如果兩個四位數(shù)的差等于8921，就是說這兩個四位數(shù)組成一個數(shù)對。問：這樣的數(shù)對共有多少個？

在這些數(shù)對中，被減數(shù)最大是9999，此時減數(shù)是9999－8921＝1078，被減數(shù)和劍術(shù)同時減去1后，又得到一個滿足題意條件的四位數(shù)對。為了保證減數(shù)是四位數(shù)，最多可以減去78，因此，這樣的數(shù)對共有78+1＝79個。

              答：這樣的數(shù)對共有79個。

練習(xí)3

1、       兩個四位數(shù)的差是8921。這兩個四位數(shù)的和的最大值是多少？

2、       如果兩個三位數(shù)的和是525，就說這兩個三位數(shù)組成一個數(shù)對。那么這樣的數(shù)對共有多少個？組成這樣的數(shù)對的兩個數(shù)的差最小是多少？最大是多少？

3、       如果兩個四位數(shù)的差是3456，就說這兩個數(shù)組成一個數(shù)對。那么，這樣的數(shù)對共有多少個？組成這樣的數(shù)對的兩個數(shù)的和最大是多少？最小是多少？

例4．

  三個連續(xù)自然數(shù)，后面兩個數(shù)的積與前面兩個數(shù)的積之差是114。這三個數(shù)中最小的是多少？

因為：最大數(shù)×中間數(shù)－最小數(shù)×中間數(shù)＝114，即：（最大數(shù)－最小數(shù)）×中間數(shù)＝114

而三個連續(xù)自然數(shù)中，最大數(shù)－最小數(shù)＝2，因此，中間數(shù)是114÷2＝57，最小數(shù)是57－1＝56

                答：最小數(shù)是56。

練習(xí)4

1、                        桑連續(xù)的奇數(shù)，后兩個數(shù)的積與前兩個數(shù)的積之差是252。三個數(shù)中最小的數(shù)是______.

2、                        a、b、c是從小到大排列的三個數(shù)，且a－b＝b－c，前兩個數(shù)的積與后兩個數(shù)的積之差是280。如果b＝35，那么c是_____。

3、                        被分?jǐn)?shù)，，除得的結(jié)果都是整數(shù)的最小分?jǐn)?shù)是______。

例5．

     三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)。這6個三位數(shù)的和是2886。求所有這樣的6個三位數(shù)中的最小的三位數(shù)。

因為三個數(shù)字分別在百位、十位、個位各出現(xiàn)了2次。所以，2886÷222能得到三個數(shù)字的和。

設(shè)三個數(shù)字為a、b、c，那么6個不同的三位數(shù)的和為

abc+acb+bac+bca+cab+cba

          ＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2

          ＝（a+b+c）×222

          ＝2886

即a+b+c＝2886÷222＝13

            答：所有這樣的6個三位數(shù)中，最小的三位數(shù)是139。

練習(xí)5

1、          有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)。這6個不同的三位數(shù)的和是3108。所有這樣的6個三位數(shù)中最大的一個是多少？

2、          有三個數(shù)字能組成6個不同的三位數(shù)。這6個不同的三位數(shù)的和是2220。所有這樣的6個三位數(shù)中最小的一個是多少？

3、          用a、b、c能組成6個不同的三位數(shù)。這6個三位數(shù)相加的和是2886。已知a、b、c三個數(shù)字中，最大的數(shù)字是最小數(shù)字的2倍，這6個三位數(shù)中最小的數(shù)是多少？

答案：

練1

1、           2、           3、  （1）399       （2） 

練2

1、 甲、乙兩數(shù)的比是8：3，甲數(shù)最大是96 ，差最大是60。

2、  甲、乙兩數(shù)的比是3：10，甲數(shù)最小是102，和最小是442。

3、  一、二、三道工序所需的工人數(shù)的比是：：＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59個工人。

練3

1、       9999+（9999－8921）＝11077

2、       較小的數(shù)最大是（521－1）÷2＝262，100～262共有163個自然數(shù),所以共有163對,兩個數(shù)的差最大是525－100－100＝325

3、       數(shù)對共有9999－3456－1000+1＝5544個，兩個數(shù)的和最大是9999－3456+9999＝16542，兩個數(shù)的和最小是1000+3456+1000＝5456

練4

1、  最大數(shù)－最小數(shù)＝4   中間數(shù)＝252÷4＝63   最小數(shù)＝63－2＝61

2、  根據(jù)題意可得（a－c）×b＝280，進(jìn)而可以推出a－c＝280÷b＝280÷35＝8，所以，c＝35－8÷2＝31

3、  所求的分?jǐn)?shù)，它的分子是6，5，10的最小公倍數(shù)，分母是7，14，21的最大公約數(shù)，所以答案是。

練5

1、       符合題意的三個數(shù)字之和是3108÷222＝14，因此，所有這樣的6個三位數(shù)中最大的一個是941（三個數(shù)字不能有0，否則就不能排出6個不同的三位數(shù)）。

2、       三個數(shù)字的和是2220÷222＝10，最小的一個是127。

3、       最小的數(shù)是346。

致家長：

贊賞和激勵是促使孩子進(jìn)步的最有效的方法之一。

每個孩子都有希望受到家長和老師的重視的心理，而贊賞其優(yōu)點(diǎn)和成績，正是滿足了孩子的這種心理，使他們的心中產(chǎn)生一種榮譽(yù)感和驕傲感。