常言道：世界唯一不變的就是變化。其實，還有一個永恒不變的東西——數(shù)學。

無論是物理定律、化學方程、生物基因，還是人工智能、社會研究、經(jīng)濟計量等等，都需要用數(shù)學描述，甚至有一派觀點認為，這個世界的本質就是數(shù)學，因為萬物由原子組成，原子由質子、中子和電子組成，這些又由夸克等基本粒子組成，而基本粒子分解到盡頭就是數(shù)學結構。這個世界如此完美的符合數(shù)學邏輯，令人驚嘆，但它又充滿了變化和不確定，以至于隨機和概率成了世界的常態(tài)和底色。今天我們就來聊聊這個底層的數(shù)學思維。

概率思維的整體視角

我們開車出行會提前規(guī)劃路線，投資股票、基金會考慮漲跌，就連買彩票也會看看哪個號碼出現(xiàn)的可能性更大，這些背后都有意無意地用到了概率思維。其實我們每個人都有概率意識，只是缺少對概率的深入理解和感知。

概率思維解決問題的基本思路就是把局部的隨機性轉換為整體的確定性，以得出大致確定性的判斷。比如，普通人買彩票是隨機的，但發(fā)行彩票機構的收益率是確定的；道路上發(fā)生的交通事故是隨機的，但一個城市一年的事故率是大致確定的。所以概率不是預測下一次會發(fā)生什么，而是從整體視角看問題，以刻畫事物的整體確定性。

兩個概念

了解概率思維，必須弄清兩個核心概念：隨機和獨立性。他們?nèi)缤胃怕世碚摯髲B的兩根不可或缺的立柱。

我們平時玩游戲可以選隨機英雄，聽音樂可以選隨機播放模式。隨機是事情結果的不可預測，但有別于日常說的“不確定”。隨機和不確定主要差異在于事情的結果是否可知。比如玩王者榮耀，隨機是指可選的所有英雄已知，但某次具體選到哪個英雄不知道，而不確定是指可選的英雄有哪些都不知道。再比如，上大學遇到的第一個同學的名字就是不確定，而不是隨機，因為遇到的同學可以是張三，也可以是李四......，無法窮盡所有可能的結果。

只有確定了全部可能的結果，才能分析它們的概率，否則就無法使用概率，這是概率思維的邊界。概率處理的是隨機性，而不是不確定性，所以概率可以用來分析灰犀牛，但不能預測黑天鵝。

隨機事件之間的關系，要么具有獨立性，要么具有非獨立性。正確判斷隨機事件之間的獨立性與否，是分析和度量概率的前提。拋硬幣是一個典型的獨立事件，每次拋的結果互不影響，而網(wǎng)絡效應則是一個點典型的非獨立事件，比如淘寶平臺，買家與賣家互為影響，買家越多，會吸引更多的賣家，反之亦然。每次彩票結果其實就是一個獨立事件，不受前期結果的影響，若你真正理解了獨立性，想必以后不會再去買彩票了。

概率分布

抽象是數(shù)學解決問題的基本方式，也是連接現(xiàn)實世界和數(shù)學世界的橋梁。如果一類事物呈現(xiàn)出相同的現(xiàn)象，我們就可以把這種現(xiàn)象抽離成一個數(shù)學量，這大體就是抽象的含義。通過抽象和數(shù)學邏輯的確認，事物的現(xiàn)象就可以上升到我們常說的規(guī)律，具有了通用性。

在處理隨機事件的問題上，抽象出來的數(shù)學量稱作“隨機變量”。

換句話說，就是把隨機事件所有的結果抽象成一個數(shù)字，每個數(shù)字對應一個概率，這個隨機變化的數(shù)字就是隨機變量。通過隨機變量，我們就可以把現(xiàn)實世界和概率世界連接起來。

要探究一個隨機事件的規(guī)律，我們直接分析其對應的隨機變量這個具體的數(shù)字變化即可。比如，研究一個城市的居民年均收入情況，可以將其分為5萬以下、5萬-10萬、10萬-30萬、30萬-50萬、50萬-200萬、200萬以上等6個等級，每個等級就是隨機變量的一個結果，把隨機變量所有的結果和它對應的概率全部統(tǒng)計出來后，我們就得出這個城市居民年均收入的概率分布。

由此，我們可以看到概率分布就是通過從整體上描述一個隨機事件所有可能的結果和對應的概率分布，提供整體上的確定性。這樣，我們就可以鳥瞰世界，從整體上把握一件事的基本輪廓，以便做進一步的探索。

常見的概率分布有正態(tài)分布、對數(shù)正態(tài)分布、冪律分布和泊松分布等，他們代表某些隨機事件特有的變化規(guī)律。比如，人的身高、體重和智商都服從正態(tài)分布，而網(wǎng)絡流量和個人財富則都服從冪律分布。

正態(tài)分布圖

對數(shù)正態(tài)分布圖

冪律分布圖

正態(tài)分布是概率分布中最重要的分布，沒有之一。因為大量獨立的隨機變量相加，其結果必定會趨向于正態(tài)分布；同樣，任何分布疊加最終也都會形成正態(tài)分布，這是由中心極限定理和大數(shù)定律決定的。

冪律分布在現(xiàn)實生活中也很普遍，常說的“二八法則”就是其一個十分直觀的表現(xiàn)。比如，全社會80%的財富集中在20%的人手里，一個行業(yè)80%的利潤被20%的頭部公司攫取等。冪律分布是一條向下的曲線，拖著一個長長的尾巴，它的數(shù)學特征只有一個，就是無標度，也叫“無尺度”。即在任何觀測尺度下，冪律分布都呈現(xiàn)同樣的分布特征。比如個人財富的分布，在一個國家、一個城市，甚至一個村子，都服從冪律分布。形成冪律分布的因素有很多，比如自組織臨界、滲流模型和優(yōu)先連接等，但最關鍵的兩個因素是其數(shù)值上限趨于無限和隨機變量的非獨立性。由于冪律分布隱藏著財富和名望的秘密，作為個體，它充滿了誘惑。

正態(tài)分布和冪律分布是兩個極其重要和普遍的概率模型，我們可以從隨機變量之間的兩種關系做一個簡單地區(qū)分，即“獨立” 和“相加或相乘”。凡是多個獨立隨機變量相加的事件，結果就是正態(tài)分布。而多個獨立隨機變量相乘的事件，它的分布是對數(shù)正態(tài)分布，介于冪律分布和正態(tài)分布之間。冪律分布則是由非獨立的隨機變量相乘的結果。正態(tài)分布下，你不用擔心會有什么極端的情況發(fā)生，而在對數(shù)正態(tài)分布和冪律分布下，你就必須做好應對極端情況的準備。

概率與系統(tǒng)思維

從某種意義上講，現(xiàn)代社會就是建立在數(shù)學這顆大樹上，她先是分枝了物理學，進而長出化學、生物學，后來又有了現(xiàn)代醫(yī)學、經(jīng)濟學等等，最終催生了現(xiàn)代工業(yè)文明。概率論作為數(shù)學的一大分支，在現(xiàn)實生活中又具有很強的普遍性，所以我們有必要做一番了解，但限于篇幅，如條件概率和貝葉斯定理等同樣實用有力的思維武器，以后再作討論。

NBA有句名言：訓練時，用正確姿勢投丟的球比用錯誤姿勢投進的球，更有價值。還有個概率算式想必都聽過：1.01的365次方是37.8，而0.99的365次方是0.03，原本兩個初始概率相差無幾，但只要加入“時間”這一個變量，長期結果則判若云泥，正所謂“差之毫厘，謬以千里”。

這些都在告訴我們一個道理：相信系統(tǒng)，堅持長期主義。這是概率思維贈給我們的禮物。只要決策系統(tǒng)有概率優(yōu)勢，我們就應該相信系統(tǒng)，長期堅持，而不要在乎單次決策結果的成敗，即重視過程，而非結果。

這應該成為一個科學決策者的思維品質。