適合高中生和大一新生的通俗微積分：導(dǎo)數(shù)、微分、偏導(dǎo)和全微分

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世界著名數(shù)學(xué)家、菲爾茨獎(jiǎng)獲得者、哈佛大學(xué)終身教授丘成桐先生說過：

很多中學(xué)都不教微積分，其實(shí)中世紀(jì)科學(xué)革命的基礎(chǔ)在于微積分的建立，而我們的孩子不懂得微積分，等于是回復(fù)到中世紀(jì)前的黑暗時(shí)代，實(shí)在可惜。

本人深以為然！

遂決定為那些對(duì)微積分感興趣的中二以上的少年們寫幾篇微積分小文章，這是其中的第一篇。

本文盡量用通俗、淺顯和形象的語言來講述，做到條理清晰、提綱挈領(lǐng)。對(duì)于那些剛開始學(xué)微積分的大一新生同樣具有一定的借鑒作用。當(dāng)然，對(duì)那些已系統(tǒng)的學(xué)完高數(shù)的人來說，本文也有一定的復(fù)習(xí)和參考作用。

導(dǎo)數(shù)和微分是微積分的基礎(chǔ)，而微積分是自然科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這無疑說明，導(dǎo)數(shù)和微分是非常非常重要的。因此，我們就從這部分開始吧。

先來看什么是導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)

考慮函數(shù) $y=f(x)$ ，自變量 $x$ 由 $x$ 變到 $x+\Delta x$ ，函數(shù)值相應(yīng)由 $y$ 變?yōu)? $y+\Delta y$ ，如果我問你，函數(shù)值隨自變量的變化率是多少，你應(yīng)該會(huì)給出以下計(jì)算

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 很顯然，這個(gè)變化率與 $x$ 及 $\Delta x$ 有關(guān)。例如，在下圖中，我們看到，當(dāng)保持 $x$ 不變時(shí)，隨著 $\Delta x$ 減小， $\Delta y$ 減小的更慢一些，因此變化率越來越小。表現(xiàn)為那條紅線的傾角越來越小。

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如果函數(shù) $y$ 與 $x$ 之間是一次函數(shù)的關(guān)系，畫出來就是一條直線。那么 $y$ 隨 $x$ 的變化率是恒定的，它就是直線的斜率值。

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相反，如果換一個(gè)更復(fù)雜的函數(shù)，隨著 $\Delta x$ 的減小，它的變化率會(huì)經(jīng)歷復(fù)雜的變化，相應(yīng)的，那條紅線的傾角也不是單純的增加或減少。

但無論如何，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，當(dāng) $\Delta x$ 無限減小時(shí)，這個(gè)紅線會(huì)歸于一條經(jīng)過 $(x,y)$ 的切線。這個(gè)變化率的極限等于該切線的斜率。它是函數(shù)在點(diǎn) $(x,y)$ 處 $y$ 隨 $x$ 的變化率。

也就是說，這個(gè)特殊的變化率不是通過一個(gè)有限大小的自變量變化來獲得，而是當(dāng)自變量的變化趨于零時(shí)取得的。

這個(gè)特殊的變化率就是函數(shù)在點(diǎn) $(x,y)$ 的導(dǎo)數(shù)，數(shù)學(xué)表達(dá)式為 $y$ 函數(shù)變量 $y$ 上面帶一撇就代表它的導(dǎo)數(shù)，也可寫為 $f$ 或 $f$ 。

導(dǎo)數(shù)只與函數(shù)形式以及點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，因此它也是一個(gè) $x$ 的函數(shù)。這個(gè)新的函數(shù)給出被求導(dǎo)的函數(shù)在所有點(diǎn)的切線的斜率，也被稱作導(dǎo)函數(shù)。

作為一個(gè)導(dǎo)數(shù)的例子，瞬時(shí)速度就是在平均速度的基礎(chǔ)上，通過不斷減小時(shí)間長(zhǎng)度直到無限小時(shí)得到的一個(gè)極限值，因此瞬時(shí)速度就是位置 $x$ 對(duì)時(shí)間 $t$ 的導(dǎo)數(shù)。

那么，是不是任何函數(shù)在任何位置都存在導(dǎo)數(shù)呢？

當(dāng)然不是！

根據(jù)上面提到的，導(dǎo)數(shù)本質(zhì)就是函數(shù)在各處的切線的斜率，所以，若在某處這個(gè)切線不存在，那就自然沒有斜率，也就沒有導(dǎo)數(shù)了，我們稱函數(shù)在該點(diǎn)不可導(dǎo)。

例如下面這些函數(shù)，在某些位置是不可導(dǎo)的。

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具體說來， $y=|x|$ 在 $x=0$ 處不存在導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閺淖筮吇蛘哂疫厽o限趨近這一點(diǎn)，函數(shù)的變化率存在兩個(gè)不同的值，這說明極限不存在，因此在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。

對(duì) $y=\sqrt{x}$ ，在 $x=0$ 處，切線的斜率是無限大，因此導(dǎo)數(shù)無限大，我們?nèi)艘舱J(rèn)為在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)不存在。

對(duì) $y=1/x$ ，由于函數(shù)在 $x=0$ 處不連續(xù)，切線不存在，因此在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)也不存在。

對(duì)最后那個(gè)函數(shù)，同樣因?yàn)樵? $x_0$ 處不連續(xù)，因此函數(shù)在該處不可導(dǎo)。

總結(jié)起來就是：在不連續(xù)的位置，函數(shù)必定在該處也不可導(dǎo)，若有點(diǎn)沒有切線或切線斜率取值無窮大，那么函數(shù)在該處也不可導(dǎo)。

如果你對(duì)得到的導(dǎo)函數(shù)繼續(xù)求導(dǎo)，那將得到高階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)然，能這么做的前提是函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)都存在。

那么，如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)呢？

基本出發(fā)點(diǎn)就是上述導(dǎo)數(shù)的定義！下面舉例說明。

例1. 設(shè)函數(shù) $y=2x^2$ ，求 $y$ 并求在坐標(biāo) $x=1$ 處的導(dǎo)數(shù)值。

解：根據(jù)上述定義 $y$ 將右邊待求極限的式中的完全平方式展開，結(jié)果為 $\frac{2x^2+4x\Delta x+2(\Delta x)^2-2x^2}{\Delta x}$ 即為 $4x+2\Delta x$ ，顯然當(dāng) $\Delta x\to 0$ 時(shí)，它的值為 $4x$ ，故得 $y$ 代入坐標(biāo)值 $x=1$ 到 $y$ 中，得導(dǎo)數(shù)值為 $y$ 。

再來看一個(gè)稍復(fù)雜的例子。

例2. 求函數(shù) $y=a^x$ 的導(dǎo)數(shù)，其中 $a>0$ 且 $a\neq1$ 。

解：根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義， $\begin{align*} y$ 做到這里，遇到了一個(gè)較難的問題，被求極限的分式的分子分母都是無窮??！有人認(rèn)為它們的比應(yīng)該是1，其實(shí)這是錯(cuò)誤的！

兩個(gè)無窮小的關(guān)系可以有三種可能，具體解釋見如下淺色字體部分，不感興趣可以跳過。

例如

2x^2

與

x^2

在

x\to0

時(shí)，都是無窮小，但并不相等，而是成倍數(shù)關(guān)系，我們稱之為同階無窮??；再例如

2x^2

與

2x

在

x\to0

時(shí)的比值為

x

，仍然是無窮小，因此

2x^2

是比

2x

更高階的無窮??；當(dāng)然也有特殊的情況，兩個(gè)無窮小相等，例如

x

和

\sin x

在

x\to0

時(shí)相等。

其實(shí)上述極限歸于一個(gè)數(shù)學(xué)推論：

\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a

讀者可自行證明，因此得到上面的極限為

a^x\ln a

。當(dāng)

a=e

時(shí)就得到高數(shù)中最神奇的那個(gè)導(dǎo)數(shù)：

(e^x)

是不是覺得求導(dǎo)挺復(fù)雜？其實(shí)比起后面的積分來說，求導(dǎo)根本不算什么難事！

前人已經(jīng)將常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都求出來了。例如三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等等，一般的高等數(shù)學(xué)書的附錄中都列出了。你也可根據(jù)上述方法再求一遍。不過我建議，對(duì)這些常見的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以直接記憶它們的導(dǎo)數(shù)，以提高效率。

此外，求導(dǎo)還有一些定理和推論也很重要，其中最典型的有如下四個(gè)。

(1) 函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)函數(shù)的和的導(dǎo)數(shù)等于它們的導(dǎo)數(shù)之和，即 $(u+v)$

(2) 函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)：兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)等于每一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與另一個(gè)函數(shù)的乘積之和，即 $(uv)$ (3) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：設(shè)有函數(shù) $y=f(x)$ 以及 $x=\phi(t)$ ，則 $y$ 是 $t$ 的復(fù)合函數(shù) $y=h(t)$ ，那么 $y$ 對(duì) $t$ 的導(dǎo)數(shù)為 $h$ (4) 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)，設(shè) $y=f(x)$ 的反函數(shù)為 $x=\phi(y)$ ，則

$\phi$ 記?。呵髮?dǎo)多了，記得多了，就熟能生巧了，不要一開始就想什么都會(huì)。

下面再看什么是微分。

微分

在上面講導(dǎo)數(shù)的時(shí)候，我們提到，導(dǎo)數(shù)是在自變量值和函數(shù)值的增量都取無限小時(shí)，函數(shù)的變化率。換句話說，導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的極限。

為了簡(jiǎn)便，我們可用專門的符號(hào)來表示這里的無限小量，即無限小的自變量增量 $\Delta x$ 和函數(shù)增量 $\Delta y$ ，分別表示為 ${\rm d}x$ 和 ${\rm d}y$ ，即

$\left\{ \begin{align*} &\Delta x\to {\rm d}x\\ &\Delta y\to {\rm d}y \end{align*} \right.$ 這種符號(hào)是德國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)發(fā)明的。它們所表示的量無限趨近于零，但卻不等于零，我們稱之為微分。

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請(qǐng)務(wù)必仔細(xì)體會(huì)并抓住微分的這一極限思想！當(dāng)年萊布尼茲就是根據(jù)這一思想定義切線的：讓曲線上那個(gè)動(dòng)的點(diǎn)無限靠近那個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)，但兩點(diǎn)始終不會(huì)重合。你想想，只有兩個(gè)點(diǎn)才能確定一條直線，如果重合了就沒法確定直線了！

所以，不得不佩服，萊布尼茲想法何其美哉！

對(duì)函數(shù) $y=f(x)$ ， ${\rm d}x$ 是自變量的微分，而 ${\rm d}f$ 與 ${\rm d}y$ 都可以等價(jià)的表示函數(shù)的微分。

數(shù)學(xué)里有個(gè)習(xí)慣，變量一般用斜體表示。既然這里的 ${\rm d}$ 只是一個(gè)符號(hào)，嚴(yán)格講不應(yīng)該用斜體。不過即使用斜體，問題也不大。

除 $y$ 和 $f$ 之外， $y=f(x)$ 的導(dǎo)數(shù)也可表示為 $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}或\frac{{\rm d}f}{{\rm d}x}$ 據(jù)此符號(hào)，導(dǎo)數(shù)中很多規(guī)律可以寫的更加簡(jiǎn)潔。例如，由 $y=f(x)$ 和 $x=\phi(t)$ 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù) $y=h(t)$ 的導(dǎo)數(shù)為 $\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}$ 下面再來看函數(shù)的微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

對(duì)函數(shù) $y=f(x)$ 來說，在某個(gè)坐標(biāo) $x$ 附近，函數(shù)增量 $\Delta y$ 隨著自變量增量 $\Delta x$ 變化。如果 $\Delta x$ 不是太小，這兩個(gè)增量之間的比例關(guān)系是不確定的。

但當(dāng) $\Delta x$ 越來越小時(shí)，它們之間的比例就越來越接近所在點(diǎn)的切線的斜率，表述出來就是

這里的 $\alpha$ 代表一個(gè)隨 $\Delta x$ 變化的小量。在上式兩邊乘以 $\Delta x$ 得 $\Delta y=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Delta x+\alpha\Delta x$ 一般習(xí)慣用符號(hào) $o(\Delta x)$ 代替 $\alpha\Delta x$ ，表示一個(gè)高階小量，因此上式即為 $\Delta y=\frac{{\rm d}y}{{\rm d}x}\Delta x+o(\Delta x)$

所謂高階小量，你可以理解為是小量的高次冪，例如2次方以上。相對(duì)小量，它的高次冪更小，當(dāng)小量趨于零時(shí)，高階小量就變成高階無窮小了。因此，當(dāng)自變量的增量無限小時(shí)，就可以忽略這個(gè)高階小量了。

隨著自變量的增量無限減小，這個(gè)等式右邊的 $o(\Delta x)$ 以更快的速度趨于零，直到過渡到微分式：

${\rm d}y=f$ 這個(gè)關(guān)系告訴我們，當(dāng)自變量的增量無限小時(shí)，函數(shù)的增量與自變量的增量之間只差一個(gè)系數(shù)—— $f$ 在該處的取值。換句話說，這兩個(gè)增量之間是一個(gè)簡(jiǎn)單的比例關(guān)系——也稱線性關(guān)系。

微分一詞在此處看起來是一個(gè)名詞，但隨著我們后面學(xué)習(xí)積分，微分也表示將整體分割成微小的單元的意思，那時(shí)它也就成為一個(gè)動(dòng)詞了。

上述導(dǎo)數(shù)和微分只是針對(duì)一元函數(shù)而言，若函數(shù)為多元函數(shù)，情況又是怎樣的呢？

偏導(dǎo)

設(shè)有二元函數(shù) $z=f(x,y)$ 。若變量 $x$ 變?yōu)? $x+\Delta x$ ，造成 $z$ → $z+\Delta z$ ，這可表示為

$\Delta z= f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ 類似于一元函數(shù)，當(dāng) $\Delta x$ 趨于零時(shí)， $\Delta z$ 與 $\Delta x$ 的比值也表示函數(shù)在點(diǎn)( $x$ , $y$ )的變化率。只是這個(gè)變化率純粹由 $x$ 的變化導(dǎo)致，它也是一種導(dǎo)數(shù)，稱之為偏導(dǎo)，表示為 $\frac{{\rm \partial} z}{{\rm \partial} x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta z}{\Delta x}$ 上式左邊就是偏導(dǎo)的符號(hào)表示——一個(gè)整體的符號(hào)。相對(duì)導(dǎo)數(shù)符號(hào)，用 $\partial$ 代替了 ${\rm d}$ 。它們都表示無窮小量，表示 $\Delta\to0$ 時(shí)的增量。

偏導(dǎo)有時(shí)也用帶有自變量下標(biāo)的函數(shù)符號(hào)表示，例如 $f_x$ 表示函數(shù)對(duì) $x$ 的偏導(dǎo)。

既然偏導(dǎo)也是函數(shù)，那么與導(dǎo)數(shù)一樣，你可以對(duì)偏導(dǎo)繼續(xù)求某個(gè)自變量的偏導(dǎo)，只要它存在偏導(dǎo)數(shù)。例如，你可對(duì) $f_x$ 再求 $y$ 的偏導(dǎo)，得到 $f_{xy}$ 。

如何求偏導(dǎo)？只需按照偏導(dǎo)的定義計(jì)算即可。下面舉個(gè)求偏導(dǎo)的例子。

考慮如下函數(shù) $z=f(x,y)$

$z=-x^2-\frac{1}{2}y^2+xy+10$ 根據(jù)偏導(dǎo)定義，與第1節(jié)求導(dǎo)的例子類似，很容易得到，它的兩個(gè)偏導(dǎo)分別為 $\left\{ \begin{align*} &\frac{\partial z}{\partial x}=y-2x\\ &\frac{\partial z}{\partial y}=x-y \end{align*} \right.$ 可見，求偏導(dǎo)時(shí)，你只要把其他的變量都當(dāng)作常數(shù)即可，因此偏導(dǎo)其實(shí)與導(dǎo)數(shù)沒什么太大的區(qū)別。

與導(dǎo)數(shù)類似，如果你關(guān)注偏導(dǎo)在某個(gè)特定的點(diǎn) $(x_0,y_0)$ 的取值，那么它就是曲面上對(duì)應(yīng)該點(diǎn)的一條切線的斜率，即一個(gè)數(shù)。如果不限制，也就是考慮所有點(diǎn)的情況，那么偏導(dǎo)依舊是一個(gè)函數(shù)。

為了更清楚的理解偏導(dǎo)的意義，將上述函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)畫在下圖中，帶格子的曲面由滿足該函數(shù)的所有坐標(biāo)點(diǎn)構(gòu)成。


$f_x=y-2x$	$f_y=x-y$

假想你在這個(gè)曲面上沿著平行于 $x$ 軸方向移動(dòng)，你將在曲面上走出一條曲線，這條曲線就是函數(shù)對(duì) $x$ 的偏導(dǎo)所描繪的曲線；如果你沿著平行于 $y$ 軸運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然就走出函數(shù)對(duì) $y$ 偏導(dǎo)所描繪的那條曲線。它們就是上圖中那兩條藍(lán)色的曲線。

并且，在這兩條曲線上，不同位置的切線的斜率就是該處函數(shù)偏導(dǎo)的值。例如，上圖中兩條紅色直線的斜率就分別代表位于點(diǎn) $(2,1)$ 處的兩個(gè)偏導(dǎo)值，它們的值分別為 $\left\{ \begin{align*} &f_x(2,1)=-3\\ &f_y(2,1)=1 \end{align*} \right.$ 可見，在點(diǎn) $(2,1)$ 處，當(dāng)沿著 $x$ 方向走時(shí)，路途更艱險(xiǎn)，因?yàn)樾甭矢蟆露雀蟆?/p>

從曲面上任一點(diǎn)出發(fā)，沿不同方向走，有不同的坡度，分別對(duì)應(yīng)不同的切線的斜率，它們就是曲面函數(shù)在該點(diǎn)的各個(gè)方向?qū)?shù)，而偏導(dǎo)不過是其中兩個(gè)最特殊的方向?qū)?shù)。

關(guān)于方向?qū)?shù)，以后再與梯度一起講。

全微分

設(shè)有函數(shù) $z=f(x,y)$ ，根據(jù)偏導(dǎo)的定義式 $\frac{\partial z}{\partial x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$ 若將其中的極限符號(hào)去掉，這個(gè)等式不再成立，等號(hào)兩邊之間相差一個(gè)與 $\Delta x$ 相關(guān)的小量 $\alpha$ ，即

這個(gè) $\alpha$ 在當(dāng) $\Delta x\to0$ 時(shí)為無窮小?，F(xiàn)將兩邊同時(shí)乘以 $\Delta x$ ，并用高階小量 $o(\Delta x)$ 表示 $\alpha\Delta x$ ，上式變?yōu)?

$\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)$ 類似的，如果是 $y$ 發(fā)生變化，即 $\Delta z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 則也相應(yīng)的有 $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)$

你大概也看到了，這兩個(gè) $\Delta z$ 的式子與前面講微分部分關(guān)于高階小量的式子是類似的。

不過，上述 $\Delta z$ 都是不完整的，它們都只是某一個(gè)自變量的增量導(dǎo)致的函數(shù)增量。若 $x$ 和 $y$ 都發(fā)生變化，則函數(shù)增量應(yīng)該是

$\Delta z= f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ 我們可以將這個(gè)變化分兩步完成，即 $\begin{align*} \Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)\\ &\quad+f(x,y+\Delta y)-f(x,y)\\ &=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x +o(\Delta x)\\ &\quad+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y) \end{align*}$ 注意，上式中 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 取值點(diǎn)是 $(x,y+\Delta y)$ ，而 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 取值點(diǎn)是 $(x,y)$ 。但當(dāng) $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 都趨于零時(shí)，這兩個(gè)點(diǎn)無限靠近，兩個(gè)偏導(dǎo)也都在兩個(gè)無限靠近的兩點(diǎn)處取值。而此時(shí)后面的高階小量也趨于零，遂用 ${\rm d}$ 代替 $\Delta$ ，因此得到 ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial z}{\partial y}{\rm d}y$ 這說明，當(dāng)自變量的變化都趨于無窮小時(shí)，只要將自變量的增量與對(duì)應(yīng)偏導(dǎo)的乘積加起來，就是函數(shù)的增量，這就是函數(shù) $z=f(x,y)$ 的全微分。

類似的，擁有超過2個(gè)自變量的函數(shù)的全微分也可以照此寫出，例如函數(shù) $p=f(r,\theta,\phi)$ 的全微分是 ${\rm d}p=\frac{\partial p}{\partial r}{\rm d}r+\frac{\partial p}{\partial\theta}{\rm d}\theta+\frac{\partial p}{\partial\phi}{\rm d}\phi$ 你大概悟出了一個(gè)規(guī)律：函數(shù)在任意坐標(biāo)處的全微分，等于它在此處的自變量的微分的線性組合，其組合系數(shù)分別就是對(duì)應(yīng)的偏導(dǎo)值。若對(duì)任意點(diǎn)求全微分，則只要將這些偏導(dǎo)值推廣為偏導(dǎo)函數(shù)即可。

并且你還發(fā)現(xiàn)，偏導(dǎo)可看作是導(dǎo)數(shù)的特例，而微分不過也是全微分的特例罷了。

到此，本文主要內(nèi)容已講完了。下面是多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，可根據(jù)興趣選讀。

多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

設(shè)有一個(gè)二元函數(shù) $z=f(x,y)$ ，它的自變量 $x$ 和 $y$ 又是 $t$ 的函數(shù)，如何求 $z$ 對(duì) $t$ 的導(dǎo)數(shù)呢？

利用上節(jié)得到的那個(gè) $\Delta z$ 表達(dá)式 $\Delta z=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x +\frac{\partial z}{\partial y}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)$ 兩邊同時(shí)除以 $\Delta t$ 得 $\frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\Delta x}{\Delta t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\Delta y}{\Delta t}+\frac{o(\Delta x)}{\Delta t} +\frac{o(\Delta y)}{\Delta t}$ 由于 $o(\Delta x)$ 和 $o(\Delta y)$ 都是高階小量，除以小量 $\Delta t$ 之后仍然是小量，它們?cè)? $\Delta t\to 0$ 時(shí)都趨于零。故對(duì)上式兩邊取 $\Delta t\to 0$ 即為 $\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{\partial z}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}$ 這就是多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，也稱全導(dǎo)數(shù)。

很容易想到，如果是超過兩個(gè)自變量的函數(shù)，只要加上新的變量的偏導(dǎo)與它對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘積即可。例如函數(shù)

$u=f(x(t),y(t),z(t))$ 的全導(dǎo)數(shù)為 $\frac{{\rm d}u}{{\rm d}t}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} +\frac{\partial u}{\partial y}\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t}+ \frac{\partial u}{\partial z}\frac{{\rm d}z}{{\rm d}t}$ 為了便于記憶，你可以將全導(dǎo)數(shù)看成是在全微分的基礎(chǔ)上除以求導(dǎo)變量的微分所得的結(jié)果。

如果函數(shù)的中間變量也是多元的，那么就沒有全導(dǎo)數(shù)，只有偏導(dǎo)數(shù)。此時(shí)，只要把涉及的導(dǎo)數(shù)用偏導(dǎo)代替即可，例如函數(shù)

$z=f(x(u,v),y(u,v))$ 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)為 $\left\{ \begin{align*} &\frac{\partial z}{\partial u}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}\\ &\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v} \end{align*} \right.$ 按照上節(jié)全微分內(nèi)容可知 ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}{\rm d}x+\frac{\partial z}{\partial y}{\rm d}y$ 如果再寫出 $x$ 和 $y$ 的全微分，代入上式，就會(huì)得到用 $u$ 和 $v$ 的微分表示的函數(shù) $z$ 的全微分： ${\rm d}z=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}{ \rm d}u+\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}{\rm d}v+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}{\rm d}u+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}{\rm d}v$ 這些規(guī)則看起來挺繁瑣，但背后的規(guī)律很簡(jiǎn)單。只要摸清規(guī)律，就可以輕松寫出來。

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