定義在基本空間上的Fourier變換.對(duì)于任一函數(shù),定義其Fourier變換為

約定記號(hào)

Fourier變換有以下性質(zhì):

(1) Fourier變換是線性變換.

(2) Fourier變換將微分運(yùn)算變?yōu)?strong>乘以冪函數(shù)的運(yùn)算,即

(3) Fourier變換將乘以冪函數(shù)的運(yùn)算變?yōu)?strong>微分運(yùn)算,即

(4) Fourier變換將卷積運(yùn)算變?yōu)?strong>乘法運(yùn)算,反之將乘法運(yùn)算變?yōu)?strong>卷積運(yùn)算.即

定理1 Fourier變換建立了到的一個(gè)同構(gòu)對(duì)應(yīng).

證明 先證明對(duì)于任一,經(jīng)過(guò)Fourier變換后仍然屬于.事實(shí)上,對(duì)于任意的重指標(biāo),作積分式

就可以有

由于,故對(duì)任意有界,從而.由同一等式可知,當(dāng)時(shí),也有,所以Fourier變換是到的一個(gè)同構(gòu)對(duì)應(yīng).同樣可證Fourier逆變換也是到的一個(gè)同構(gòu)對(duì)應(yīng)(一對(duì)一,并保持線性結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變).

定理2 關(guān)于Fourier變換成立Parseval等式:

例1 函數(shù)的Fourier變換為.

定義1 對(duì)任一廣義函數(shù),定義它的Fourier變換為

定理3 Fourier變換建立了到的一個(gè)同構(gòu)對(duì)應(yīng).

例2 求函數(shù)的Fourier變換.

對(duì)任意的,成立

例3 求函數(shù)的Fourier變換.

對(duì)于任一,記,則,且有

例4 求的Fourier變換.

注意到,對(duì)任一,仍記為,則

例5 求廣義函數(shù)的Fourier變換.

注意到對(duì)于任意的,積分有意義,故.令

故,即.

定理4 若,則.

定理5 Paley-Wiener定理.

(1)若,支集在中,則的Fourier-Laplace變換滿足條件(P1):存在使

又若解析函數(shù)滿足條件(P1),則必為某個(gè)的Fourier-Laplace變換,且的支集在中.

(2)若,支集在中,則的Fourier-Laplace變換滿足條件(P2):對(duì)任意的,存在,使

又若解析函數(shù)滿足條件(P2),則必為某個(gè)的Fourier-Laplace變換,且的支集在中.

設(shè)在空間中給定一個(gè)具有系數(shù)的線性微分算子,表示為

則由Fourier變換的性質(zhì)可知

定義2 設(shè)函數(shù),且對(duì)任意重指標(biāo),成立

其中為常數(shù),則稱為類函數(shù),記為.

定義3 若函數(shù),則可以定義的線性連續(xù)映射為

當(dāng)僅依賴于變量時(shí),算子也稱為Fourier乘子.

定理6 擬微分算子是的線性連續(xù)算子.它還可以唯一地延拓成為的線性連續(xù)算子,其中, 的線性連續(xù)算子,其中, 中的收斂按序列弱收斂的意義理解.

函數(shù)類是多項(xiàng)式的推廣,相應(yīng)地,擬微分算子類也要比微分算子類更為廣泛,它的全體構(gòu)成一個(gè)算子代數(shù).一個(gè)重要的事實(shí)是擬微分算子的運(yùn)算往往可以通過(guò)其象征的運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn).這克服了微分算子只能作加法和乘法(復(fù)合)的限制.將偏微分方程的求解視為偏微分算子求逆,而通過(guò)象征運(yùn)算加以實(shí)現(xiàn).