簡單介紹一下，第一道題目來自考研數(shù)學(xué)一元函數(shù)積分學(xué)章節(jié)里的練習(xí)題，講義里給出了如下兩種解法，第二道題目是第一題的變式題，同樣也可以利用夾逼準則解答，若是直接按照廣義積分中值定理類似地與題目一的方法二進行，事實上是不可行的，為此先利用分步積分進行拆解，然后再利用廣義積分中值定理進行解答。（解法為本人所寫，若有錯誤歡迎指出，有更好的方法或者其他可行方法歡迎留言）最后一題為工科數(shù)學(xué)分析上的例子，摘取下來再供讀者閱讀，進行鞏固理解。

求極限 .

（方法一）由于

而 , 故 .

(方法二) 由廣義積分中值定理得

由于 為無窮小量, 介于 與 之間為有界量, 則

有人用積分中值定理得, , 由于 , 所以有

這是一種 "經(jīng)典錯誤". 原因是積分中值定理中的點 依賴于積分區(qū)間和被積函數(shù), 在本題中, 隨著 的不同, 被積函數(shù)也不同, 從而 在 中的位置也不同, 因此應(yīng)記為 , 即由積分中值定理得到的應(yīng)該是

雖然 , 但當 時, 有可能不趨于零 如  , 因而不能推出

變式題

求極限 .

（方法一）

對于這個極限，我們可以使用夾逼定理來求解. 首先，我們觀察到被積函數(shù) 在區(qū)間 上是有界的.因此，我們可以找到兩個函數(shù) 和 ，使得 對于所有 成立.因為 對于所有 成立,所以我們有 .因為 對于所有 成立,則我們有 . 即可以選擇 和 . 因此，我們得到了 對于所有 .

對于 ，我們有：

對于 ，我們有：

根據(jù)夾逼定理，我們可以得出：

因此，所求極限為 .

(方法二)

由于 為無窮小量, 為有界量, 則

再看一例子

應(yīng)用積分中值定理時應(yīng)注意的問題.

在證明 時, 有人用連續(xù)函數(shù)的積分中值定理, 得 , 由于 , 所以有 . 問這個證明對不對?如果這個證明不對, 試給出正確的證明.

這個證明不對.一般地，積分中值公式中的點 依賴于積分區(qū)間和被積函數(shù)。在本題中, 隨著 的不同, 被積函數(shù)也不同, 從而 在 中的位置也不同, 因此應(yīng)記之為 , 即由積分中值公式所得到的應(yīng)該是

雖然 , 但 當 時, 有 可 能 不趨 于零 (例如, , 而 , 因而這個推證是不對的. 下面給出正確的證明：

證法 1 由于當 時, 有 , 所以有

令 , 由夾逼準則, 得

證法 2 利用廣義積分中值定理, 得

其中 , 由于 有界, 而 , 于是由無窮小的運算法則, 得

參考書籍：25考研武忠祥輔導(dǎo)講義；工科數(shù)學(xué)分析釋疑解難