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群論確實由許多不同類型的群組成，其中有五個基本群在理論上非常重要，并且為理解更復雜的群結構提供了基礎。為了說明每個群是如何構建的，我們需要從對稱性（symmetry）開始。對稱性是指一個物體在經過某些操作后仍保持不變的性質。
以海星為例，每轉72度，它看起來和之前相同。為了推廣這種概念，需要設立三個條件。 首先，識別物體中所有相似的部分，并賦予它們一個編號。
其次，嘗試找出可以對該物體執(zhí)行的操作，這些操作可以重新排列編號的部分，同時占據(jù)相同的空間。這些操作可以是旋轉、翻轉、平移或反射等。它們的共同特點是不會改變物體的整體形狀或尺寸，只是重新排列了物體的編號部分，并確保物體仍然占據(jù)相同的空間。
第三，列出所有可能的組合。
這在數(shù)學上不是很實用，所以移除矩形，只顯示注釋。
這個圖從討論“物體在空間中的特定排列或狀態(tài)”轉換為討論操作。虛線箭頭顯示的是垂直翻轉，而實線表示水平翻轉。 我們可以進一步簡化它，不是用完整的短語，而是選擇顏色和節(jié)點。這些終點被稱為節(jié)點。的第一個節(jié)點是起點節(jié)點，標記為N。
箭頭變成了線，雖然缺少箭頭頭部，我們仍然稱之為箭頭。藍色代表水平翻轉，結束于B節(jié)點，紅色代表垂直翻轉，結束于R節(jié)點。我們知道，每次表示關系時都不會使用圖表，實際上以代數(shù)方式表達它。再次看圖，發(fā)現(xiàn)RB等于BR，兩者都結束在RB節(jié)點。因此，更簡潔地表示為RB=BR。 顯然這是一個非常簡單的例子，但這里有一個非常重要的點，我們剛才畫的是一個群，它的可視化，更具體地稱為克萊因4元群（Klein-4，記為V4）。順便提一下，所有的節(jié)點都是它的元素，所以當我們說N是V4的元素時，表達為
克萊因四元群屬于阿貝爾群家族（abelian groups），但在深入討論它們之前，我們需要了解一個更基本的群家族，稱為循環(huán)群（cyclic groups）。它們是最基本的，因為它們只有旋轉對稱性，這意味著對循環(huán)群只能做一件事，那就是旋轉它。
循環(huán)群通常被命名為C_n，n是元素的數(shù)量或它們的階。通常我們會給一個節(jié)點分配一個恒等元“零”，因為旋轉一個有n個葉片的螺旋槳n次會回到起點，這實質上等同于從未旋轉過。
因此，在代數(shù)上，C_5表示為這樣：
每次旋轉都朝我們選擇的方向（不能是兩個方向），
在這個例子中，每個群的元素都是通過反復加一生成的，但數(shù)字不會無限增加，達到n后會回到零，這就是所謂的模加法（modular addition）。 如果用凱萊表（Cayley table）來表示這一點，
會清楚地看到類似2+3=0或4+3=2這樣的情況。正如之前提到的，其他群族可以從循環(huán)群構建而成。因此，為了理解這一點，我們需要理解如何在其他類型的群中找到循環(huán)群。 考慮這個圖S_3，
藍色的箭頭表示旋轉或r。如果從單位元素e開始，會看到在外部描繪出一個與C_3完全相同的軌跡。這個術語稱為r的軌道，它們通常像集合一樣寫在一起。
所有的循環(huán)群都是阿貝爾群，這自然引出了阿貝爾群家族。實際上，阿貝爾群可以從循環(huán)群構建而成。阿貝爾群是指那些操作順序無關緊要的群?；叵胍幌挛覀冎暗腣_4例子，如果R和B是阿貝爾群中的兩個操作，那么操作R后再操作B，結果與先操作B再操作R相同，這表示為RB=BR。這個讀作R與B可交換，因此阿貝爾群是可交換的。 這在視覺上可能顯而易見，但如果看看這兩個非常相似的圖，
其中一個是D_4，另一個是C_2×C_4。仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，對于D_4，先藍色再紅色，和先紅色再藍色得到的節(jié)點不同，
因此RB不等于BR，但另一個群則相等。 在凱萊表中它們也很容易識別，因為它們幾乎是彼此的鏡像。
如果你將表沿對角線對折，接觸到的元素是相同的。 循環(huán)群只能展示旋轉對稱的物體。那么如果想旋轉它并將其翻轉呢？有適合這種情況的群嗎？有的，這就是二面體群（Dihedral groups），它可以旋轉和翻轉。二面體群描述的物體也具有雙邊對稱性，這意味著它們在反射時看起來相同。它們通常寫作D_n。 我們在C_n中能做的所有操作也可以在D_n中進行，因為它涉及旋轉。但由于D允許翻轉，因此D_n中的操作數(shù)量是C_n的兩倍。在二面體群中，每種可能的旋轉都有一種可能的翻轉。取一個等邊三角形并給所有的角編號，
我們可以旋轉它，這相當于C_3的旋轉，這個順時針的旋轉可以稱為r，C_3副本就是r的軌道。但我們也可以通過翻轉三角形得到另外三個位置，將總數(shù)提升到六個。
D_n圖的外環(huán)是r的軌道，是循環(huán)群C_n的副本，它們順時針旋轉。內環(huán)也是旋轉，但為逆時針旋轉。f操作連接內環(huán)和外環(huán)。
乘法表清楚地顯示了這一點，我們可以將其分為四個非常明確的象限。
在這個D_5的例子中，可以稱它們?yōu)椤胺D”和“未翻轉”。 到目前為止，我們主要討論了形狀，但如果想要重新排列群的元素會怎樣？這些重新排列屬于我們將討論的最后兩個群族：對稱群和交替群。它們是構建群的完美工具，因為它們滿足群的四個條件：
還記得之前提到的S_3嗎？S代表對稱，S_n代表n個事物的所有排列構成的群，或稱為對稱群。S3是我們迄今遇到的唯一對稱群，它很小，但隨著n的增大，它們變得更加引人注目。它們的規(guī)模增長非常快，S_n中的n是階乘。超過S_5后，凱萊圖表變得非常難以繪制。但S_4仍然可以很好地排列。S_4有四個元素，所以有24種可能的排列。紅色箭頭表示排列“2到4，4到3，3到2”，藍色箭頭表示排列“1到2，2到1”。
盡管元素的集合可以形成一個群，但創(chuàng)建排列群并不一定需要取所有給定大小的排列。仍然可以使用S_n的一部分排列形成一個群。一種方法是通過交替群，它只取S_n中一半的元素，但不是隨機的一半。交替群A_n由S_n中的偶排列組成。舉個例子，
它展示了S_3中每個排列在平方時的行為。當我們對一個排列平方時，實際上是將它連續(xù)應用兩次。“1”是恒等排列“1 2 3”，或簡單記作“id”。將其平方意味著id ○ id = id，因此結果是恒等元素。 接下來是兩個元素的交換，例如交換元素1和2，平方它意味著
這等于恒等元，因為交換兩次會抵消交換，因此它仍然是恒等元，所以它是一個奇排列。2和3交換也是同樣的道理。 第五和第六行的排列產生了兩種不同的換位
先“1 2”，再“2 3”，因此它是偶排列。最后一個也是偶排列。因此，在6個可能的排列中，我們得到了三個，交替群A_3。 在凱萊圖中，交替群的排列是對稱群排列的一半。例如，交替群A_4排列在一個截頂四面體上，而這是S_4的截頂八面體的一半。
這一切引出了凱萊定理，它指出，群論的所有內容都可以在排列中找到。
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