我們知道，經(jīng)典粒子攜帶著物理量，如位置、動(dòng)量和能量。當(dāng)這個(gè)粒子在空間中運(yùn)動(dòng)并與物體相互作用時(shí)，這些物理量會(huì)隨著時(shí)間連續(xù)變化。因此，得出的結(jié)論是什么？首先，經(jīng)典物理量是單值的，也就是說(shuō)它們?cè)谌魏我粋€(gè)時(shí)刻只能取一個(gè)值。例如，一個(gè)粒子不可能同時(shí)處于兩個(gè)地方，也不可能有兩個(gè)不同的速度。其次，物理量是連續(xù)的，意味著它們隨著時(shí)間的推移平滑地變化，不會(huì)突然變化。

鑒于這兩個(gè)觀察結(jié)果，似乎很明顯我們應(yīng)該用一個(gè)連續(xù)函數(shù)來(lái)建模這些物理量。根據(jù)定義，一個(gè)函數(shù)在任何時(shí)刻只能取一個(gè)值，而且連續(xù)函數(shù)沒(méi)有突然的跳躍。因此，這就是為什么在經(jīng)典物理中，我們用連續(xù)函數(shù)來(lái)表示物理量！這看起來(lái)似乎有點(diǎn)顯而易見(jiàn)。我們還能用什么呢？為了看看這種模型何時(shí)失效，讓我們分析一個(gè)真實(shí)的物理系統(tǒng)，并比較經(jīng)典物理與量子物理的表現(xiàn)。特別地，我們來(lái)關(guān)注氫原子，它由一個(gè)圍繞質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的電子組成。讓我們看看在經(jīng)典物理框架中，我們期望會(huì)發(fā)生什么。隨著電子圍繞質(zhì)子運(yùn)動(dòng)，它會(huì)以光的形式釋放能量。這是電磁學(xué)中的一個(gè)著名事實(shí)。

通過(guò)測(cè)量釋放的光的能量，我們可以測(cè)量出電子剩余的能量（以電子伏特為單位）。因此，我們可以設(shè)置一個(gè)探測(cè)器并進(jìn)行測(cè)量。電子的能量顯示在左邊（以電子伏特為單位），而且根據(jù)經(jīng)典物理的要求，它是單值的且連續(xù)的。

現(xiàn)在讓我們進(jìn)入量子世界，獲取一個(gè)實(shí)際的氫原子和探測(cè)器，看看會(huì)發(fā)生什么。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)探測(cè)器只檢測(cè)到少量的能量值，測(cè)量結(jié)果是離散的。

重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，雖然能量值與上次有所不同，但仍是離散的。我們多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)后得出兩個(gè)結(jié)論：第一，物理量有時(shí)是離散的，不會(huì)取中間值；第二，測(cè)量結(jié)果是隨機(jī)的，但某些值的概率比其他值更高。這與物理量必須是連續(xù)且單值的觀點(diǎn)相矛盾。

顯然，連續(xù)函數(shù)無(wú)法用于量子世界的建模。那么，我們?cè)撚檬裁茨兀窟@似乎是個(gè)棘手的問(wèn)題，但我們可以戴上理論物理學(xué)家的帽子，看看能從這些結(jié)論中推導(dǎo)出什么。

首先，我們需要找到一種數(shù)學(xué)方法來(lái)建模隨機(jī)性問(wèn)題?？雌饋?lái)在測(cè)量之前，粒子包含了我們可能獲得的每一個(gè)結(jié)果的信息。那么，我們?nèi)绾?strong>數(shù)學(xué)地表示這一現(xiàn)象呢？

假設(shè)我們確定粒子的能量是E=A，用數(shù)學(xué)對(duì)象 M_A 來(lái)表示粒子。M可以是任何東，如函數(shù)、環(huán)的一個(gè)元素、流形等——只是我們尚未確定的某種數(shù)學(xué)對(duì)象。如果粒子的能量是 B，則用 M_B 來(lái)表示，以此類(lèi)推。

因此，每一個(gè)可能的結(jié)果都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)對(duì)象 M。粒子似乎在測(cè)量之前是所有這些數(shù)學(xué)對(duì)象的集合，表示所有可能的結(jié)果。那么，我們需要找到一種方法將這些數(shù)學(xué)對(duì)象組合起來(lái)。我們可以使用未知的“點(diǎn)符號(hào)”來(lái)將這些數(shù)學(xué)對(duì)象合并成一個(gè)描述粒子的整體對(duì)象。

接下來(lái)，我們需要給每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象附加一個(gè)概率值，來(lái)表示獲得該結(jié)果的可能性。最簡(jiǎn)單的方法就是在每個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象前面加一個(gè)數(shù)字，代表這個(gè)可能性。

現(xiàn)在，讓我們退一步，看看目前的成果。回顧你之前學(xué)過(guò)的一些數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，希望你會(huì)開(kāi)始意識(shí)到這看起來(lái)很像某種線性組合。你看出來(lái)了嗎？粒子是所有可能結(jié)果的一種線性組合，假設(shè)這些結(jié)果由某種向量表示。

我們繼續(xù)討論離散性問(wèn)題。這涉及到如何表示離散的物理量。已經(jīng)知道函數(shù)不適用；我們需要一種數(shù)學(xué)對(duì)象，能夠在特定情況下返回一組離散的結(jié)果或數(shù)值，而不是連續(xù)變化的數(shù)值。這有點(diǎn)難，但如果沿著線性組合的線索推測(cè)，或許線性算子，也就是矩陣，能夠表示物理量。

畢竟，矩陣由一組離散的數(shù)值組成，所以或許我們可以從這個(gè)離散集合中提取出物理量。

我們現(xiàn)在有了一個(gè)非常可靠的猜測(cè)，關(guān)于如何建模量子力學(xué)！粒子可以表示為某個(gè)向量空間中的向量的線性組合，物理量可以表示為該空間中的線性算子。

我們?cè)趲追昼妰?nèi)發(fā)展出了量子力學(xué)的框架，而世界上最偉大的物理學(xué)家們花了多年才得出這些結(jié)論。重要的是你明白為什么線性代數(shù)是量子力學(xué)的一個(gè)好的起點(diǎn)。

當(dāng)然，還有很多問(wèn)題沒(méi)有解答。比如粒子如何是一個(gè)向量？不同的概率是如何計(jì)算的？粒子是如何隨時(shí)間演化的？后面我們將繼續(xù)討論。