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對于一維、二維乃至四維的數(shù)字，人們都不陌生：一維的實數(shù)一直都存在于經(jīng)典物理中，復數(shù)提供了量子物理的數(shù)學基礎，四元數(shù)則是愛因斯坦狹義相對論的基礎。然而，最為復雜的數(shù)字形態(tài)——八元數(shù)，八元數(shù)是四元數(shù)的一個非結(jié)合推廣，通常記為O。八元數(shù)在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯中有應用。它又與現(xiàn)實世界存在著怎樣的關(guān)系呢？ 劍橋大學的數(shù)學物理學家Cohl Furey正在尋找粒子物理標準模型和八元數(shù)之間的聯(lián)系。八元數(shù)的乘法規(guī)則被編碼在被稱為法諾面的三角圖中。 包括本文的主人公，劍橋大學數(shù)學物理學家Cohl Furey在內(nèi)的一些科學家相信，八元數(shù)蘊藏著整個宇宙的秘密——我們可以從中推導出構(gòu)成現(xiàn)實世界的整套相互作用和粒子。這篇文章，就將帶我們走進這類奇異而復雜的數(shù)字。 2014年，加拿大滑鐵盧大學的研究生Cohl Furey駕車6小時來到了賓夕法尼亞州立大學，希望能和物理學教授Murat Günaydin討論一個問題。Furey弄明白了如何在Günaydin 40年前研究的基礎上建立新理論。這是一項已經(jīng)被多數(shù)人遺忘的研究，它支持一個有關(guān)基礎物理與純數(shù)學之間聯(lián)系的猜想。而現(xiàn)在，F(xiàn)urey將它重新帶回人們的視線中。 這個猜想雖然存在于很多物理學家和數(shù)學家心中，但是很少有人做這一領域的研究。它認為，構(gòu)成了現(xiàn)實世界的整套相互作用和粒子，都可以從一種名為八元數(shù)的八維數(shù)字中推出來。 Günaydin現(xiàn)在是賓夕法尼亞州立大學教授，在1973年他還是耶魯大學的研究生的時候，他和他的導師 Feza Gürsey 發(fā)現(xiàn)了八元數(shù)和強相互作用之間的令人吃驚的聯(lián)系。強相互作用是將原子核中的夸克結(jié)合在一起的力量。其他研究者最初對這一發(fā)現(xiàn)很感興趣，但興趣并沒有持續(xù)多久。那時所有人都在為粒子物理中的標準模型而困擾，它能夠通過方程描述已知的基本粒子和它們之間的強、弱和電磁相互作用（引力之外的所有基本作用力）。但是大家沒有去尋找標準模型問題的數(shù)學解釋，更多的物理學家將希望寄托在高能粒子對撞機等實驗上，希望會找到預料之外的粒子，從而能夠超越標準模型，更深層次地理解現(xiàn)實。他們“想象下一次進展會自動出現(xiàn)，而不是通過更深入地思考我們已知的信息而獲得。”加拿大圓周理論物理研究所的 Latham Boyle說。 幾十年過去了，物理學家還沒有找到超出標準模型的粒子。與此同時，八元數(shù)的奇異之美也一直吸引著少數(shù)幾個有獨立想法的研究者，其中就包括Furey，這個在4年前拜訪過Günaydin的加拿大研究生。那時Furey在黑板上潦草地寫下一串奇異的符號，試圖向 Günaydin 解釋她將他的工作從強相互作用拓展到了電磁相互作用。 現(xiàn)如今Furey已經(jīng)39歲了，她還沒能將標準模型中的粒子和相互作用都用八元數(shù)來表達出來，也還沒能觸及到引力這個話題。她強調(diào)數(shù)學上的可能有很多種，很多專家都認為，找到能成功合并八元數(shù)和其他可除代數(shù)的方法還太早。 最復雜的數(shù) 要說明什么是八元數(shù)，要從我們熟悉的實數(shù)開始——就是那些可以在數(shù)軸上找到的數(shù)，例如1、π、-83.777。實數(shù)可以通過特定的方式湊成一對，組成復數(shù)。關(guān)于復數(shù)的研究開始于16世紀的意大利，復數(shù)和二維坐標平面類似，加法、減法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋轉(zhuǎn)。將復數(shù)以一定的方式配對，可以形成四維的四元數(shù)，它是在1843年由愛爾蘭數(shù)學家哈密頓發(fā)現(xiàn)的。哈密頓的律師朋友John Graves隨之證明了成對組合的四元數(shù)也組成八元數(shù)：這種數(shù)可以定義八維抽象空間的坐標。 
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之后就不可能構(gòu)建更復雜的數(shù)了。1898年完成的證明說明，實數(shù)、復數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù)是僅有的幾種可被加減乘除的數(shù)字形式。這些“可除代數(shù)”中的前三個是20世紀物理學的數(shù)學基礎，實數(shù)一直都存在于經(jīng)典物理中，復數(shù)提供了量子物理的數(shù)學基礎，四元數(shù)則是愛因斯坦狹義相對論的基礎。這樣的聯(lián)系讓很多研究人員去思考如何理解最后一個可除代數(shù)。八元數(shù)中可能蘊含著宇宙的秘密嗎？ 當你從實數(shù)到復數(shù)，再到四元數(shù)、八元數(shù)把維度逐步翻倍時，F(xiàn)urey解釋道，“每一次翻倍，你都會失去一些性質(zhì)。”比如，實數(shù)可以從小到大排列，“而復數(shù)分布的平面上，根本沒有這樣的概念?！苯又?，四元數(shù)沒有交換律；對于四元數(shù)來說，a × b不等于b × a。這其實也很常見，因為將更高維度的數(shù)相乘會包含旋轉(zhuǎn)，當你在高于兩維的空間交換旋轉(zhuǎn)的次序時，你最終得到的位置是不同的。到了八元數(shù)，結(jié)合律也將失效，也就是說（a × b） × c不等于a × （b × c）?！皵?shù)學家們不喜歡不滿足結(jié)合律的東西，”加利福尼亞大學河濱分校的八元數(shù)專家John Baez說，“因為我們很容易想象不滿足交換律的情形，比如先穿襪子再穿鞋和先穿鞋再穿襪子，但是我們很難想象不滿足結(jié)合律的情形?！北热纾讼却┮m子之后穿鞋，你還可以先將你的襪子放進你的鞋中，再同時穿上襪子和鞋，技術(shù)上說，這兩種不同的穿法可以讓得到相同的結(jié)果：穿著襪子和鞋?！袄ㄌ柺且环N人為引入的東西。” 八元數(shù)不滿足結(jié)合律的性質(zhì)阻礙了很多物理學家在這方面的努力，但是Baez解釋說，八元數(shù)奇怪的數(shù)學性質(zhì)同時也是最吸引他們的地方。自然用它的四種力操縱著幾十種粒子和反粒子，它本身也很奇怪。標準模型是“奇怪且獨特的”，他說。 
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在標準模型中，基本粒子體現(xiàn)了三個對稱群。所謂的群，指的就是可以讓運動方程保持不變的交換粒子子集的方式。這三個群，SU（3）， SU（2） 和U（1）分別對應著強、弱和電磁相互作用，它們作用于6種夸克，兩種輕子加上它們的反粒子，每種輕子又分別有三代，每代的粒子除了質(zhì)量不一樣以外其他性質(zhì)都相同。（第四種基本力——引力與這三種不相容，在愛因斯坦的廣義相對論中，引力是時空幾何的彎曲。） 粒子集合體現(xiàn)的是標準模型中的對稱性，就像是正方形為了滿足90度的旋轉(zhuǎn)對稱性必須存在四個頂角一樣。問題在于，為什么是SU（3） × SU（2） × U（1）這個對稱群？還有，為什么就是這樣的一套粒子，具有各種力荷、奇妙的手征和冗余的三代粒子？對待這類問題的傳統(tǒng)態(tài)度是將標準模型看成是更為完整理論結(jié)構(gòu)的一部分。但另外一種辦法，是試圖通過八元數(shù)來“從邏輯上解決這些奇怪的性質(zhì)，”Baez說。 當Furey在研究生時期了解到四元數(shù)可以描述粒子在四維時空中的平移和旋轉(zhuǎn)時，她就開始嚴肅地探究這種可能性。她考慮了粒子的內(nèi)稟性質(zhì)，比如它們的電荷。“我發(fā)現(xiàn)擁有8個自由度的八元數(shù)可以和粒子中的一代相對應：一個中微子，一個電子，三個上夸克和三個下夸克?！?她說，這有點像之前令人鄙視的數(shù)字占卜。但是這樣巧合也在之后的研究中激增。“如果研究項目是一個謀殺謎案，”她說，“我會認為我們?nèi)栽谑占€索階段?！?/p> Dixon代數(shù) 為了構(gòu)造出粒子物理，F(xiàn)urey使用的是四種可除代數(shù)的直積R?C?H?O（R是實數(shù)，C是復數(shù)，H是四元數(shù)，O是八元數(shù)），有時候也被稱為Dixon代數(shù)，因物理學家Geoffrey Dixon得名。在20世紀七八十年代是他最先開始探索這個領域，但是之后他沒能得到教職，離開了這個領域。（Dixon從他的回憶錄中截取了一段發(fā)給我：“我當時有的是一種不受控制的直覺，我覺得這些代數(shù)是理解粒子物理的關(guān)鍵，如果跟著這個直覺走跌下懸崖我也愿意，有人也許會說我確實這么干了。”） Dixon和其他人繼續(xù)將可除代數(shù)和其他數(shù)學工具結(jié)合時，而Furey限制了自己的活動范圍；在她的體系中，代數(shù)“只作用于自己”。根據(jù)R?C?H?O結(jié)合，4個數(shù)的體系可以形成一個64維的抽象空間。在這個空間中，根據(jù)Furey的模型，粒子是數(shù)學上的“理想”（ideal，集合論的一個術(shù)語），也就是這樣的一種子集，其中的元素，和整個集合中的其他元素相乘后得到的元素還在這個子集中，這使得粒子運動、旋轉(zhuǎn)、相互作用和轉(zhuǎn)化后仍是粒子。她認為理想是粒子的本質(zhì)，它們能夠滿足R?C?H?O的對稱性。 Dixon也知道，這個代數(shù)結(jié)構(gòu)會分成兩個部分：C?H和C?O，即復數(shù)與四元數(shù)、復數(shù)與八元數(shù)的直積（和實數(shù)的直積是平凡的）。在Furey的模型中，與粒子在時空中移動和旋轉(zhuǎn)相聯(lián)系的對稱性，也就是洛倫茲群，會出現(xiàn)在代數(shù)結(jié)構(gòu)中的四元數(shù)C?H部分。對稱群SU（3） × SU（2） × U（1），描述粒子的內(nèi)稟性質(zhì)以及強、弱和電磁力相互作用，會從八元數(shù)部分C?O出現(xiàn)。 Günaydin和Gürsey在他們的早期工作中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)SU（3）是八元數(shù)的一部分?？紤]八元數(shù)的一組單元，1、 e1、 e2、 e3、 e4、 e5、 e6和 e7，是八個相互正交的方向上的單位距離：它們表示一種名為G2的群對稱性，也就是一種“exceptional群”，它在數(shù)學上不能被歸到任意一個現(xiàn)在已知的對稱群中。八元數(shù)和exceptional群以及其他特殊數(shù)學對象的關(guān)系，足夠讓我們相信它具有重要意義，比如，菲爾茲獎和阿貝爾獎獲得者，著名數(shù)學家 Michael Atiyah就相信最后的關(guān)于自然的理論一定是有關(guān)八元數(shù)的。他在2010年說到：“我們想找到的終極理論，需要把引力納入到其他理論中，其方式應該是把引力看作八元數(shù)和exceptional群的結(jié)果?！彼a充道：“這會是很難的工作，因為我們已經(jīng)知道八元數(shù)就是很難的理論，但是當你找到了它之后，它應該是一個美麗的理論，而且獨特?！?/p> 將e7固定，改變其他單元會將它對稱性降為SU（3）群。Günaydin和Gürsey利用這一性質(zhì)建立了第一代夸克上的強相互作用的八元數(shù)模型。 Furey走得更遠。在今年5月于《歐洲物理期刊C》（The European Physical Journal C）發(fā)表的文章中，她整合了幾項研究，為單獨一代粒子構(gòu)造出了完整的標準模型對稱群，SU（3） × SU（2） × U（1），通過數(shù)學可以得出電子、中微子、三個上夸克、三個下夸克和它們的反粒子的正確電荷數(shù)和其他的屬性。數(shù)學計算也解釋了為什么電荷是量子化的，因為數(shù)在本質(zhì)上就是這樣的。 然而，按照這種解釋粒子的方式，研究者還不知道怎樣才能自然地把模型擴展到包括自然界的全部三代粒子。但是在一篇正在專家之間流通，由《物理快報B》（Physical Letters B）評審的新論文中，F(xiàn)urey用C?O來構(gòu)造標準模型中的兩個非破缺的對稱性，SU（3）和U（1）。（在自然界中，SU（2） × U（1）通過希格斯機制破缺為U（1），這一機制可以使粒子獲得質(zhì)量。）在這樣的情況下，作用于所有三代粒子的對稱性也允許惰性中微子存在，這種粒子是物理學家現(xiàn)在積極搜尋的暗物質(zhì)的候選者。“三代粒子的模型只有SU（3） × U（1），所以它是更為基本的，” Furey告訴我，“問題在于，有沒有很明顯的辦法來從一代模型的圖像過渡到三代模型？我認為存在這樣的方法?！?/p> 這是她現(xiàn)在所思考的主要問題。一些其他的數(shù)學物理學家也同樣在嘗試用一種包含八元數(shù)的結(jié)構(gòu)——exceptional Jordan代數(shù)來構(gòu)造三代粒子的模型。經(jīng)過多年來獨自的工作，F(xiàn)urey現(xiàn)在開始和用不同方法的研究者合作，但是她更喜歡仍然在這四個可除代數(shù)R?C?H?O范圍內(nèi)考慮問題。它已經(jīng)足夠復雜，可以來通過多種方式提供靈活性。Furey的目標是找到這樣的模型，它看上去是理所應當?shù)?，而且可以解釋質(zhì)量、希格斯機制、引力和時空。 現(xiàn)在，數(shù)學上已經(jīng)有了關(guān)于時空的概念。她發(fā)現(xiàn)R?C?H?O元素的所有乘法鏈都可以由10個被稱為“生成元”的矩陣生成。其中的9個生成元代表空間部分，第10個生成元，其符號和前9個相反，代表時間。弦論中也預言了十維時空，八元數(shù)中也有類似的結(jié)論。Furey的工作是否能和弦論聯(lián)系在一起還有待去發(fā)現(xiàn)。 最后的理論 Furey拒絕回答我提的那些更偏哲學的、有關(guān)物理和數(shù)學之間關(guān)系的問題，比如，它們在根本層次上是否是一體的、相同的？她對為什么可除代數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵這一謎題更感興趣。她同時也有一種預感，反映了研究者常有的對無限的反感，她猜測R?C?H?O實際上是一種近似，在最終理論中它會被取代，而取代它應該是一個不涉及無限連續(xù)實數(shù)的相關(guān)數(shù)學系統(tǒng)。 這些都只是直覺上的想法。但是隨著標準模型完美地通過了檢驗，大型強子對撞機上也一直沒有新粒子出現(xiàn)的跡象。既物理學界彌漫著一種既不安又興奮的氣氛，鼓動研究者重新回到黑板和白板上?，F(xiàn)在有一種一切都待完成的感覺，“也許我們還沒有完成將現(xiàn)有發(fā)現(xiàn)整合起來的工作，”圓周研究所的Boyle說。他認為能夠?qū)⑦@項工作完成的可能性“比很多人預期的都要高，”他還說這“應該受到比現(xiàn)在更多的關(guān)注，所以我很開心會有一些像Cohl的人正在努力推進這項研究?！?/p> Boyle自己沒有研究標準模型和八元數(shù)之間的關(guān)系。但是和很多人一樣，他承認聽說過關(guān)于這個領域的一些誘人傳言?！拔乙餐瑯討延邢Ｍ彼f，“即使懷疑的人，也認為八元數(shù)最后可能在基礎物理中扮演重要角色，因為這個理論實在是很漂亮?！?/p> 原文轉(zhuǎn)載：http://tech./a/309256.html 跨境電商：https://www./ insider：https://www./w/1786 custommade：https://www./w/2514 對于一維、二維乃至四維的數(shù)字，人們都不陌生：一維的實數(shù)一直都存在于經(jīng)典物理中，復數(shù)提供了量子物理的數(shù)學基礎，四元數(shù)則是愛因斯坦狹義相對論的基礎。然而，最為復雜的數(shù)字形態(tài)——八元數(shù)，八元數(shù)是四元數(shù)的一個非結(jié)合推廣，通常記為O。八元數(shù)在諸如弦理論、狹義相對論和量子邏輯中有應用。它又與現(xiàn)實世界存在著怎樣的關(guān)系呢？ 劍橋大學的數(shù)學物理學家CohlFurey正在尋找 |
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