在科學(xué)史上，微積分的創(chuàng)立被認(rèn)為是人類(lèi)智力的一大突破。過(guò)去很多用初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題，運(yùn)用微積分，這些問(wèn)題往往迎刃而解。

此外，微積分學(xué)還在自然科學(xué)、工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等方面得到了廣泛應(yīng)用，為科技進(jìn)步和社會(huì)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)不可或缺的重要組成部分。

然而，究竟是誰(shuí)最先創(chuàng)建了微積分，這個(gè)問(wèn)題一直存在爭(zhēng)議。英國(guó)的牛頓和德國(guó)的萊布尼茲幾乎同時(shí)獨(dú)立發(fā)展了這一理論，但兩者的優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)引發(fā)了科學(xué)界持續(xù)多年的激烈爭(zhēng)論……

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站在早期微積分思想之巔：

微積分產(chǎn)生有其歷史必然性

經(jīng)歷了文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)后，歐洲的社會(huì)生產(chǎn)力迅速發(fā)展，推動(dòng)了力學(xué)和天文學(xué)的進(jìn)步。例如，航海事業(yè)需要精確定位船只位置，促使人們深入研究天體運(yùn)行；船舶改進(jìn)帶動(dòng)了對(duì)流體及物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的探索；戰(zhàn)爭(zhēng)中對(duì)炮彈精準(zhǔn)度的需求促進(jìn)了彈道學(xué)研究。通過(guò)這些實(shí)踐問(wèn)題的研究，科學(xué)家們總結(jié)出了諸如開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律和伽利略自由落體定律等基本力學(xué)概念。

在等速運(yùn)動(dòng)中，初等數(shù)學(xué)可以解決的一些問(wèn)題，到了變速運(yùn)動(dòng)中，常量數(shù)學(xué)無(wú)法描述其中的復(fù)雜關(guān)系，因此需要發(fā)展新的工具——變量數(shù)學(xué)，而微積分正是其中最基礎(chǔ)的內(nèi)容。

微分和積分是微積分的兩個(gè)基本概念，表示兩種基本的極限過(guò)程，也是兩種基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算。早在古代數(shù)學(xué)中，就產(chǎn)生了微分、積分概念的思想萌芽,后來(lái)二者分別結(jié)合著一些特殊的數(shù)學(xué)問(wèn)題被人們加以研究和發(fā)展——積分思想出現(xiàn)在求面積、體積等問(wèn)題中；微分則和求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題相聯(lián)系。

早期微積分思想的闡述

1673年，萊布尼茲首先在有關(guān)求面積的問(wèn)題中取得突破，得到了求平面曲線(xiàn)所圍面積的一般公式。他是從“求單位圓的四分之一面積”這樣的具體問(wèn)題開(kāi)始的，在充分利用前人成果的基礎(chǔ)上，他把原先“一把鑰匙開(kāi)一把鎖”的個(gè)別方法、個(gè)別面積公式加以普遍化，得到了函數(shù)的積分概念。

1673年5月左右，萊布尼茲已經(jīng)充分了解了求曲線(xiàn)切線(xiàn)的重要意義，并且領(lǐng)悟到求曲線(xiàn)切線(xiàn)的逆問(wèn)題等價(jià)于通過(guò)求和來(lái)求面積。

萊布尼茲微分學(xué)手稿

通過(guò)鉆研帕斯卡、巴羅、沃利斯等人的著作，尤其是成功引入了微分三角形，萊布尼茲越來(lái)越明確地意識(shí)到，微分（求導(dǎo)數(shù)，主要是求切線(xiàn)）與積分（求和，主要是求面積）這兩種運(yùn)算過(guò)程應(yīng)該是互逆的。

左：牛頓，右：萊布尼茨

萊布尼茲第一次在數(shù)學(xué)中表述出了微分和積分之間的互逆關(guān)系，正是這一關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，才導(dǎo)致了微積分一整套運(yùn)算方法的建立，或者說(shuō)，這一互逆關(guān)系的發(fā)現(xiàn)正是創(chuàng)建微積分的關(guān)鍵所在。

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微積分優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)：

探尋真正的“第一發(fā)明人”

萊布尼茲在巴黎期間對(duì)于創(chuàng)建微積分作了大量工作，但他的研究成果都散記在一些手稿之中。回到漢諾威以后，萊布尼茲一方面繼續(xù)深入研究，一方面則把他自1673年以來(lái)的許多研究成果進(jìn)行整理和總結(jié)，寫(xiě)成文章，公之于眾。

1684年，萊布尼茲在《教師學(xué)報(bào)》(ActaEruditorum)上發(fā)表了他用拉丁文所寫(xiě)的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線(xiàn)的新方法》，這是數(shù)學(xué)史上第一篇正式發(fā)表的微積分文獻(xiàn)。

1686年，萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》，討論了微分與積分，或者說(shuō)是切線(xiàn)問(wèn)題與求積問(wèn)題的互逆關(guān)系，并且正式地使用了積分符號(hào)∫。

萊布尼茲的部分手稿

論文公開(kāi)發(fā)表后，歐洲大陸的學(xué)者都對(duì)萊布尼茲刮目相看，將他視為微積分的理所當(dāng)然的發(fā)明人。但當(dāng)英國(guó)的學(xué)者們得知這一情況以后，他們決心捍衛(wèi)牛頓的微積分優(yōu)先發(fā)明權(quán)，以?shī)Z回英國(guó)學(xué)者的榮譽(yù)。于是，一場(chǎng)在科學(xué)史上著名的曠日持久的優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)由此拉開(kāi)。

1699年，瑞士學(xué)者丟勒(N.F.Duillier,1664—1753)宣稱(chēng):牛頓比萊布尼茲早很多年發(fā)明了微積分，而萊布尼茲從牛頓那里有所借鑒，甚至可能剽竊。歐洲大陸的數(shù)學(xué)家約翰·伯努利等人則對(duì)牛頓和英國(guó)數(shù)學(xué)家們?nèi)浩鸲ブ?。?zhēng)論日趨激烈，漸漸越出學(xué)術(shù)爭(zhēng)論的范圍，成為更加帶有民族主義色彩的派別之爭(zhēng)。

英國(guó)皇家學(xué)會(huì)

1712年，英國(guó)皇家學(xué)會(huì)成立了一個(gè)調(diào)查牛頓—萊布尼茲微積分優(yōu)先權(quán)的專(zhuān)門(mén)委員會(huì)，委員會(huì)實(shí)際上處于牛頓的操縱之下。1713年初，委員會(huì)發(fā)布公告:確認(rèn)牛頓是微積分的第一發(fā)明人。萊布尼茲向英國(guó)皇家學(xué)會(huì)提出申訴，并自己起草和印發(fā)了一份《快報(bào)》，指責(zé)委員會(huì)的嚴(yán)重不公。

1714年，萊布尼茲在身體狀況惡化、處境十分艱難的情況下撰寫(xiě)了《微積分的歷史和起源》(HistoriaetOrigoCalculiDifferentialis)，敘述了他研究微積分的詳細(xì)經(jīng)過(guò)，經(jīng)數(shù)學(xué)史家們研究后于19世紀(jì)公開(kāi)發(fā)表。

01

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01：英國(guó)皇家學(xué)會(huì)出具的報(bào)告

02：萊布尼茲指責(zé)調(diào)查委員會(huì)不公的文章

從研究微積分的時(shí)間看，牛頓比萊布尼茲早約9年。據(jù)牛頓自述，他研究微積分始于1664年，1665年11月發(fā)明流數(shù)術(shù)（微分學(xué)），1666年5月建立反流數(shù)術(shù)（積分學(xué)）。萊布尼茲則在1673年開(kāi)始研究微積分，于1675–1676年間先后建立微分學(xué)和積分學(xué)（當(dāng)時(shí)稱(chēng)之為切線(xiàn)問(wèn)題和逆切線(xiàn)問(wèn)題）。

從微積分著作發(fā)表的時(shí)間看，萊布尼茲比牛頓早3年。牛頓關(guān)于微積分的第一次公開(kāi)表述，出現(xiàn)在1687年出版的巨著《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》中，其《曲線(xiàn)求積術(shù)》出版于1704年。

牛頓《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》

受微積分優(yōu)先權(quán)之爭(zhēng)的影響，牛頓的后繼者們抱有狹隘的民族主義情緒，對(duì)牛頓盲目崇拜和迷信，這使他們長(zhǎng)期只固守于牛頓的流數(shù)術(shù)，甚至愛(ài)屋及烏，只襲用牛頓的流數(shù)術(shù)符號(hào)，不屑采用萊布尼茲的明顯優(yōu)越的微分符號(hào)，以致英國(guó)的數(shù)學(xué)脫離了數(shù)學(xué)發(fā)展的時(shí)代潮流，漸漸落后于歐洲大陸國(guó)家。

3

微積分學(xué)的建立之路：

萊布尼茲與牛頓的差異

牛頓和萊布尼茲都是在學(xué)習(xí)和總結(jié)前輩數(shù)學(xué)家們大量研究成果的基礎(chǔ)上創(chuàng)建微積分的。他們都從巴羅的著作中獲得了重要啟示，都發(fā)現(xiàn)了微分和積分是互逆運(yùn)算（只有找到了這一關(guān)鍵性關(guān)系才算比他們的前輩們高出一籌），從而建立起了微積分學(xué)。后來(lái)，這一關(guān)系被稱(chēng)為“牛頓—萊布尼茲公式”，或稱(chēng)為“微積分基本定理”。

伊薩克·巴羅（IsaacBarrow），1630年10月生于倫敦，1677年5月4日卒，英國(guó)著名數(shù)學(xué)家

牛頓和萊布尼茲的微積分研究工作又是有所區(qū)別、各有特色的，人們公認(rèn)他們的研究在以下三個(gè)方面各有不同的傾向和特點(diǎn)。

首先，牛頓對(duì)微積分的研究是從力學(xué)或運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度，從速度概念開(kāi)始的，他考慮了速度的變化問(wèn)題。牛頓把自己的發(fā)現(xiàn)稱(chēng)為“流數(shù)術(shù)”（或譯為“流數(shù)法”），是以“流量”“流數(shù)”和“瞬”為基本概念的微積分學(xué)。

萊布尼茲則更多地從幾何學(xué)的角度，從求切線(xiàn)問(wèn)題開(kāi)始，突出了切線(xiàn)概念。他研究了求曲線(xiàn)的切線(xiàn)問(wèn)題和求曲線(xiàn)下的面積問(wèn)題的相互聯(lián)系，明確指出了微分和積分是互逆的兩個(gè)運(yùn)算過(guò)程。

其次，作為物理學(xué)家和力學(xué)家，牛頓的工作方式是經(jīng)驗(yàn)的、具體的和謹(jǐn)慎的，他將微積分成功地應(yīng)用到許多具體問(wèn)題以推廣他的研究成果，并從實(shí)際應(yīng)用中證明微積分方法的價(jià)值。

萊布尼茲的研究工作帶有明顯的哲學(xué)傾向，他的思想表現(xiàn)得富于想象和大膽。雖然他也注重實(shí)際應(yīng)用，但他更著重于把微分學(xué)和積分學(xué)從各種特殊問(wèn)題中概括和提煉出來(lái)，將其加以推廣和一般化，尋求普遍化和系統(tǒng)化的運(yùn)算方法。

最后，牛頓在使用符號(hào)方面不甚用心，而萊布尼茲則花費(fèi)心思選取最好的符號(hào)。在微積分方法的表述形式上，人們公認(rèn)，萊布尼茲的符號(hào)確實(shí)優(yōu)于牛頓的符號(hào)。歷史不負(fù)其苦心，由于萊布尼茲的微分符號(hào)和積分符號(hào)簡(jiǎn)明易懂，方便好用，所以一直被沿用至今。

萊布尼茲為“計(jì)算”發(fā)明的部分符號(hào)

關(guān)于微積分發(fā)現(xiàn)的爭(zhēng)論你怎么看

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萊布尼茲微積分

[德]萊布尼茲著李保濱譯