【中考數(shù)學】王橋：幾何最值之最大張角與米勒圓——深度探究2024年河南中考第20題背后的秘密

一個大風子 2024-10-18

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幾何最值之——最大張角與米勒圓

——深度探究2024年河南中考第20題背后的秘密

王橋

今天繼續(xù)分享一道十一期間一個網(wǎng)友問到的一道小題：

例1：如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，M是CD的中點，點P是BC上一個動點，若∠DPM的度數(shù)最大，則BP= 。

看到了這道題，就突然想到了2024年河南中考的第20題。

例2：（2024河南）如圖2，塑像AB在底座BC上，點D是人眼所在的位置，當點B高于人的水平視線DE時，由遠及近看塑像，會在某處感覺看到的塑像最大，此時視角最大.數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過A、B兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖3），再切點P處感覺看到的塑像最大，此時∠APB為最大視角。

（1）請僅就圖3的情形證明∠APB>∠ADB；

（2）經(jīng)測量，最大視角∠APB為30°，在點P處看塑像頂部點A的仰角∠APE為60°，點P到塑像的水平距離PH為6m，求塑像AB 的高（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：√3≈1.73）

【解析】

【簡評】這道題目其實難度不大，第（1）小問通過借助“同弧所對的圓周角相等”以及“三角形的外角大于任意一個與之不相鄰的內(nèi)角”即可證明∠APB>∠ADB；第（2）問通過含30°角的直角三角形的性質(zhì)及特殊銳角三角函數(shù)的相關(guān)知識即可求出相關(guān)線段。這道題目創(chuàng)設平常最容易考查的測量高度的生活實踐情景，讓學生體會到把生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，體現(xiàn)了考查學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界的核心素養(yǎng)。

如果把這道題目再深入挖掘下，就更有意思了：

【問題1】：題目中提到“數(shù)學家研究發(fā)現(xiàn)”......那么究竟是哪個數(shù)學家發(fā)現(xiàn)的呢？

【問題2】：為什么“經(jīng)過A、B兩點的圓與水平視線DE相切時（如圖3），再切點P處感覺看到的塑像最大，此時∠APB為最大視角”？這種方法是否具有普遍性？或者能否進一步推廣？

【問題3】：在具體問題里，這個“經(jīng)過某兩點且和某條直線相切的圓”該如何做出來？

關(guān)于問題1，咱們不妨科普一下。研究并發(fā)現(xiàn)這個問題的是德國數(shù)學家米勒。這道題目的原型是1471年德國數(shù)學家米勒(Joannes miiller 1436——1476)向諾德爾(Christion roder)教授提出的有趣問題。米勒對三角做出了巨大貢獻。是歐洲最有影響的數(shù)學家之一。米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角學在歐洲取得獨立地位的第一部系統(tǒng)性著作。

米勒提出的原題如下：

在地球表面什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長?即在什么部位，視角最大?最大視角問題是數(shù)學史上100個著名的極值問題之一。

這一問題更一般的描述是：如圖4，已知，點A、B是∠MON的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當C在何處時，∠ACB最大?

問題的答案是：如圖5——6，當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大。這個問題也被稱為“米勒圓最大張角定理”或“米勒外切定理”，簡稱米勒定理。

關(guān)于問題2，借用2024年河南中考20題的解析，已經(jīng)證明過當△ABC的外接圓?O和OM相切時∠ACB最大。

米勒圓最大張角定理在實際應用中具有重要意義。例如，在機械傳動系統(tǒng)中，齒輪的嚙合角也是一個重要的參數(shù)，它直接影響到傳動的效率和壽命。通過米勒定理的應用，可以設計出具有最大嚙合角的齒輪傳動系統(tǒng)，以提高傳動的效率和穩(wěn)定性。在航空航天工程中，該定理可以幫助設計出更好的飛行空域，以充分利用飛行器的機動性。此外，它還可以用來改進飛行器的性能和高度，使其更安全。在光學中，通過計算光線在介質(zhì)中傳播時的最大折射角或反射角，可以優(yōu)化光學系統(tǒng)的性能。在天文學中，米勒定理可以用于計算天體之間的最大視角差，從而幫助天文學家更好地觀測和研究天體（上面內(nèi)容選自網(wǎng)絡）......

關(guān)于問題3，哈哈，這個米勒圓還真的不好作。為了能夠做出這個米勒圓，咱們先惡補兩個被“雙減”掉的“定理”。

1、射影定理：如圖7，若△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點D，則：

（1）AC2=AD·AB；（2）BC2=BD·BA；（3）CD2=AD·BD；

2、切割線定理：如圖8，已知PC為?O的切線，PAB為?O的割線，則有：PC2=PA·PB；

有興趣的同學，可以自己證明下這兩個被“雙減”掉的定理的證明，下面咱們趕緊用這兩個定理來作出這個經(jīng)過AB且和OM相切的圓吧！如圖9

作法：

1、以OB為直徑作?P；

2、過點A作AQ⊥AB，交?P于點Q；

3、連接OQ；

4、以O為圓心，OQ為半徑畫弧，交OM于點C，則C為以A、B、C為頂點的外接圓?O與OM的切點；

5、作出△ABC的外接圓?O，則?O為所求作的米勒圓。

哈哈，難怪要雙減呢，還真有點小麻煩。

最后，咱們再回頭看看例1：

【解析】直接套用最大張角模型，顯然，如圖10，當△DPM的外接圓?

O和BC相切時，∠DPM最大。

此時，OD=OM=OP，且OP⊥BC于P，作OQ⊥CD于Q，則DQ=MQ，因為M為CD中點，則MC=DM=3，DQ=MQ=1，則OP=QC=3，設PC=OQ=x，根據(jù)勾股定理，則 x=2√2，∴BP=8-2√2.

通過例2這一圈分析，這個例1的思路是不是一下子清晰啦。

下面的題目，大家可以練習下：

1、足球射門時，不考慮其他因素，僅考慮射點到球門AB的張角最大時，射門射門效果最好。如圖所示，點A、B、C、D均在格點（小正方形的頂點）上，球員沿著CD的方向帶球進攻，最好的射點在（）

A.點C B.線段DE上異于D、E的任意一點

C.點D或點E D. 線段CD上異于C、D的任意一點

2、如圖，平面直角坐標系中，A（0，1）、B（0，4）在y軸上，在x軸上找一點P，使得∠APB最大，求點P的坐標；

3、如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，F是是BC邊上的動點，∠AFE=90°，點E在BC邊上。問：DE取何值時，∠AED最大？

更多關(guān)于“幾何最值”的內(nèi)容，請參閱《春季攻勢》第17講“幾何最值”

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