假設(shè)√2是有理數(shù)，那么它可以表示為兩個(gè)互質(zhì)的整數(shù)之比，即

√2 = p/q，

其中p和q是互質(zhì)的自然數(shù)，且q ≠ 0。將等式兩邊平方，得到

p2 = 2q2

由于p和q是整數(shù)，p必須是偶數(shù)，否則p2不會(huì)是2的倍數(shù)。設(shè)p=2k，其中k是整數(shù)，將這個(gè)表達(dá)式帶入p2 = 2q2得到

(2k)2 = 2q2，

即

2k2 = q2，

這意味著q2也是偶數(shù)，從而q也是偶數(shù)。既然p,q都是偶數(shù)，那么它們有公因數(shù)2，跟前面假設(shè)的p和q是互質(zhì)的自然數(shù)矛盾，所以√2是無理數(shù)。